Identifikation nichtlinearer mechatronischer Systeme mit ...

52 3 Identifikation nichtlinearer Systeme
PSfrag replacements
Dabei sind
mit
˙x x
u b
y
K
NL
Abb. 3.4: Nichtlineare kontinuierliche Zustandsbeschreibung
• u der skalare Systemeingang,
• x ∈ R n der Zustandsvektor mit n Zuständen,
• A ∈ R n×n die Systemmatrix,
• b ∈ R n der Einkopplungsvektor,
• K ∈ R n×q die Kopplungsmatrix der Nichtlinearitäten,
• NL(u, x) ∈ R q der Vektor der statischen Nichtlinearitäten mit q skalaren
Funktionen,
• c ∈ R n der Auskopplungsvektor und
• y der skalare Systemausgang.
In derselben Weise wie die kontinuierlichen Zustandsgleichungen aus dem Signalflussplan
abgeleitet werden, können die diskreten Zustandsgleichungen aus dem rekurrenten
Netz bestimmt werden. Dabei stellt jedes Verzögerungsneuron eine Differenzengleichung
der Form ˆxi[k + 1] = ˆ f(ˆx[k], u[k]) dar. Durch Zusammenfassen dieser
Gleichungen in Matrixschreibweise ergibt sich die diskrete Zustandsbeschreibung des
rekurrenten Netzes.
Mit der eingeführten Euler-Vorwärts-Approximation kann aus der kontinuierlichen
Systembeschreibung die diskrete Zustandsbeschreibung auch analytisch abgeleitet
werden. Dazu wird von einer kontinuierlichen Abbildung der Strecke
˙˜x = Ã · ˜x + ˜ b · u + ˜K · ˜
NL(u, ˜x) und ˜y = ˜c T · ˜x
ausgegangen. In Ã, ˜ b, ˜c, ˜K und ˜
NL sind dieselben Elemente besetzt wie in A, b, c, K
und NL. Die kontinuierliche Abbildung der Strecke hat somit dieselbe Struktur wie
A
c T