Identifikation nichtlinearer mechatronischer Systeme mit ...

26 2 Statische und dynamische Neuronale Netze
verkoppelt sein. Es darf jedoch keine Ausgangsrückkopplung zwischen den einzelnen
Blöcken vorhanden sein.
y = NLdyn(u)
Die Volterra-Reihe ist eine Erweiterung der zeitdiskreten Faltungssumme für lineare
Systeme. Bei dem Volterra-Ansatz setzt sich das Ausgangssignal nur aus Vergangenheitswerten
des Eingangssignals zusammen. Der hier dargestellte Ansatz stellt
die Volterra-Reihe in ihrer allgemeinsten Form dar
ˆy[k] = ˆg 0 + ∞
+ ∞
.
i1=0
∞
i1=0 i2=0
+ ∞
∞
i1=0 i2=0
ˆg[i1] u[k − i1]
ˆg[i1, i2] u[k − i1] u[k − i2]
· · · ∞
iq=0
ˆg[i1, i2, . . . , iq] u[k − i1] u[k − i2] · · · u[k − iq]
(2.18)
Die Parameter ˆg[i], ˆg[i1, i2], . . . , ˆg[i1, i2, . . . , iq] sind die Elemente der Volterra-Kerne
ersten, zweiten, . . . , q-ten Grades. Die Konstante ˆg 0 entspricht dem Beharrungswert,
den der Prozess bei verschwindender Anregung annimmt. Betrachtet man die erste
Summe in Gleichung (2.18) mit dem Kern erster Ordnung, so sieht man, dass in
diesem Ansatz auch die lineare Faltungssumme enthalten ist. Da die obere Grenze
aller Summen unendlich ist, ist obiger Ansatz für eine Identifikation unbrauchbar.
Für stabile Systeme können jedoch die Kerne höheren Grades bei Erreichen einer
oberen Grenze m vernachlässigt werden, ohne gravierende Modellungenauigkeiten zu
erhalten. Bei genauer Betrachtung von Gleichung (2.18) fällt auf, dass alle Elemente
der Kerne ab dem zweiten Grad symmetrisch aufgebaut sind.
Kern 2. Grades: ˆg[i1, i2] = ˆg[i2, i1]
Kern 3. Grades: ˆg[i1, i2, i3] = ˆg[i1, i3, i2] = ˆg[i2, i1, i3] = ˆg[i2, i3, i1] =
ˆg[i3, i1, i2] = ˆg[i3, i2, i1]
.
Werden weiterhin sprungfähige Systeme ausgeschlossen, so vereinfacht sich die Volterra-Reihe
unter Berücksichtigung der zuvor gemachten Anmerkungen zu folgender
Form