Identifikation nichtlinearer mechatronischer Systeme mit ...

3.1 Strukturierte rekurrente Netze 51
werden müssen, gibt es keine mathematische Vorschrift. Grundsätzlich bewegen sich
die Lernschrittweiten in derselben Größenordnung wie die zugehörigen Gewichte.
Für die Wahl der Parameter αi empfehlen sich [Ayoubi, 1996] Werte im Bereich
von αi ≈ 0.95 – 0.98, wobei die zugehörige Lernschrittweite ηi um den Faktor 1−αi
angepasst werden muss.
Zur Implementierung des Lerngesetzes aus Gleichung (3.3) sind die partiellen Ableitungen
∇ˆy[ˆw, k] zum Abtastschritt k notwendig. Hierfür wird in Abschnitt 3.1.3
die Zustandsdarstellung für die strukturierten rekurrenten Netze eingeführt. Anhand
dieser werden in Abschnitt 3.1.4 die partiellen Ableitungen ∇ˆy[ˆw, k] allgemein
berechnet. Die partiellen Ableitungen des RBF-Netzes, des GRNN und des HANN
werden in Abschnitt 3.1.5 explizit bestimmt.
Zur Veranschaulichung werden diese Berechnungen im Anschluss am bereits eingeführten
Beispiel der Mechanik einer elektrischen Maschine angewendet.
3.1.3 Zustandsdarstellung
Im Folgenden wird eine allgemeine Vorschrift zur Berechnung der Ableitungen ∇ˆy
entwickelt. Diese Vorschrift beruht auf der Zustandsbeschreibung eines nichtlinearen
SISO-Systems. Diese kann für jeden Signalflussplan, der aus den in Abbildung 3.1
enthaltenen Elementen besteht, angegeben werden. Das Differentiationsglied stellt
dabei einen Sonderfall dar, der in Kapitel 4 näher untersucht wird.
Signalflussplan und Zustandsbeschreibung stellen inheränte Beschreibungen dar. Damit
ist das Erstellen der Zustandsgleichung kein spezifisches Problem [Nossek,
1997].
In der zeitkontinuierlichen Darstellung ist die Zustandsbeschreibung ein System aus
nichtlinearen Differentialgleichungen erster Ordnung, das in der Form
˙x = A · x + b · u + K · NL(u, x) und y = c T · x (3.4)
dargestellt werden kann. Der Anteil K · NL(u, x) repräsentiert die isoliert eingreifenden
Nichtlinearitäten. A, b und c bilden den linearen Systemanteil. In dieser
Form wird durch die Zustandsbeschreibung ein nicht sprungfähiges System beschrieben
(Durchgriff d = 0). Dies ist bei realen Anwendungen praktisch immer gegeben
[Schmidt, 1996]. Die Zustandsbeschreibung ist in Abbildung 3.4 graphisch dargestellt.