Identifikation nichtlinearer mechatronischer Systeme mit ...

3.2 Erweiterung zum Luenberger-Beobachter 67
3.2 Erweiterung zum Luenberger-Beobachter
Wie bei der Herleitung der diskreten Zustandsbeschreibung in Kapitel 3.1.3 wird
bei der Erweiterung des rekurrenten Netzes zum Luenberger-Beobachter zunächst
von einer kontinuierlichen Streckenabbildung
˙˜x = Ã · ˜x + ˜ b · u und ˜y = ˜c T · ˜x
ausgegangen. Diese entspricht in ihrer Struktur der realen Strecke, wobei hier zunächst
nur der lineare Systemteil betrachtet wird.
Aufgrund der unterschiedlichen Parameter und Anfangswerte ergibt sich eine Abweichung
zwischen realem System und Beobachter. Diese wird als Beobachterfehler
˜e = y − ˜y bezeichnet und entspricht der bisher als Ausgangsfehler bezeichneten
Größe. Der Fehler wird auf die einzelnen Zustände zurückgeführt, womit sich die
Systembeschreibung des Beobachters zu
˙˜x = Ã · ˜x + ˜ b · u − ˜ l · ˜e
erweitert. ˜l stellt dabei den Vektor der Beobachterkoeffizienten dar. In diese Gleichung
werden die Definitionen des Beobachterfehlers und die Ausgangsgleichung
˜y = ˜c T · ˜x eingesetzt. Dies führt auf den kontinuierlichen Luenberger-Beobachter,
wie er in [Ludyk, 1995] diskutiert wird
˙˜x = Ã + ˜ T
l · ˜c ·˜x +
˜b · u − ˜l · y
Ãbeo
In Abbildung 3.10 ist diese Gleichung schwarz dargestellt. Der nichtlineare Anteil im
Beobachter und die Verbindung von Strecke und Beobachter sind grau gezeichnet.
Die Dynamik des Beobachters kann über die Pole der Matrix Ãbeo und damit über
die Beobachterkoeffizienten ˜ l vorgegeben werden. Dabei ist zu beachten, dass sich die
Koeffizienten der Matrix à während der Identifikation verändern, wodurch sich die
Pole des Beobachters verschieben. Entsprechend muss bei der Beobachterdimensionierung
beachtet werden, wie die Pole auf Änderungen der Koeffizienten reagieren.
Eine Möglichkeit, um diese Problematik zu entschärfen, ist die Beobachterkoeffizienten
während der Identifikation nachzuführen. Wie in Abschnitt 3.2.2 gezeigt
wird, gehen die Beobachterkoeffizienten in die Berechnung der partiellen Ableitungen
∇ˆy ein. Entsprechend müssen auch die Gleichungen zur Veränderung der Beobachterkoeffizienten
in die Berechnung der partiellen Ableitungen einfließen, was bei
aufwendigen Beobachterdimensionierungen zu Rechenzeitproblemen führen kann.
Aus diesem Grund muss von Gebieten in der komplexen Ebene, in denen sich die
Eigenwerte des Beobachters befinden, gesprochen werden. Um die Stabilität des
Beobachters zu gewährleisten, muss sichergestellt sein, dass diese Gebiete immer im
Bereich negativer Realteile liegen.