Identifikation nichtlinearer mechatronischer Systeme mit ...

18 2 Statische und dynamische Neuronale Netze
wird. Diese Abweichung zwischen wahrem und geschätztem Wert wird als Ausgangsfehler
e( ˆ
Θ) = y − ˆy( ˆ
Θ)
(2.9)
bezeichnet.
Ausgangspunkt für die folgenden Überlegungen ist das quadratische Fehlermaß
E( ˆ Θ) = 1
2 e2 ( ˆ Θ) = 1
y − ˆy(
2
ˆ 2 Θ)
(2.10)
Die Einführung des Faktors 1 ist für die Adaption der Gewichte unerheblich, führt
2
jedoch zu einem übersichtlicheren Lerngesetz.
Das Ziel des Lernverfahrens ist es, Gleichung (2.10) bezüglich der Parameter ( ˆ Θ) zu
minimieren. Da im Allgemeinen E( ˆ Θ) nicht analytisch vorliegt, bzw. deren Ableitung
bezüglich der Parameter ˆ Θ nicht analytisch berechnet werden kann, ist man auf eine
iterative Lösung angewiesen [Papageorgiou, 1991].
Die grundsätzliche algorithmische Struktur besteht aus nachfolgenden Schritten und
wird in Abbildung 2.10 für den zweidimensionalen Fall illustriert.
(1) Wahl eines Startpunktes ˆ Θ (0)
und Festlegung des Iterationsindexes zu l = 0.
(2) Bestimmung einer Suchrichtung s (l)
(3) Bestimmung einer skalaren Schrittweite η (l) > 0 durch Lösung des folgenden
eindimensionalen Minimierungsproblemes
min
η>0 E
(l)
ˆΘ + η (l) s (l)
(2.11)
anschließend ergibt sich der l + 1-te Parametervektor aus
ˆΘ (l+1)
= ˆ Θ (l)
+ η (l) s (l)
(4) Ist ein geeignetes Abbruchkriterium erfüllt, dann stop. Ansonsten:
(5) Beginn einer neuen Iteration l := l + 1 und Rücksprung nach (2).
(2.12)
Das in [Papageorgiou, 1991] beschriebene Gradientenabstiegsverfahren verwendet
für die Suchrichtung am jeweiligen Iterationspunkt die Richtung des steilsten
Abstiegs, also die negative Gradientenrichtung
s (l) = − ∂E(l) ( ˆ Θ (l)
)
∂ ˆ Θ (l)
(2.13)