Identifikation nichtlinearer mechatronischer Systeme mit ...

72 3 Identifikation nichtlinearer Systeme
weiter umgeformt werden
∂ˆx[k+1]
∂ ˆw = ∂Ârek
∂ ˆw · ˆx[k] + Ârek · ∂ˆx[k]
∂ ˆw +
+ ∂ˆb · u[k]+
∂ ˆw
mit der Jacobi-Matrix ˆJˆx[k] = ∂ˆx[k]
∂ ˆw
+ ∂ ˆK
∂ ˆw · NL (u[k], ˆx[k]) + ˆK · ∂ NL(u[k],ˆx[k])
∂ ˆw
ˆJˆx[k+1] = Ârek · ˆJˆx[k]+
+ ∂Ârek
∂ ˆw
und elementaren Umformungen ergibt sich
· ˆx[k]+
+ ∂ˆb · u[k]+
∂ ˆw
+ ∂ ˆK
∂ ˆw · NL (u[k], ˆx[k]) + ˆK · ∂ NL(u[k],ˆx[k])
∂ ˆw
Durch Zusammenfassen kann diese Gleichung in die Form
ˆJˆx[k+1] = Ârek · ˆJˆx[k] + ˆF mit ˆF = ˆf
1
· · · ˆ f i
gebracht werden. Die Spalten der Matrix ˆF ergeben sich dabei zu
ˆf i = ∂Ârek
∂ ˆwi
· ˆx[k]+
+ ∂ˆb · u[k]+
∂ ˆwi
+ ∂ ˆK
∂ ˆwi · NL (u[k], ˆx[k]) + ˆK · ∂ NL(u[k],ˆx[k])
∂ ˆwi
· · · ˆ f p
(3.19)
Entsprechend der Ausgangsgleichung ˆy[k] = ĉ T · ˆx[k] werden aus der Jacobi-Matrix
ˆJˆx[k] die partiellen Ableitungen ∇ˆy[k] gewonnen
(∇ˆy[k]) T
∂ˆy[k]
=
∂ ˆw1
. . . ∂ˆy[k]
∂ ˆwp
= ĉ T · ˆJˆx[k]
(3.20)
Der wesentliche Vorteil dieser Berechnungsvorschrift ist, dass zur Berechnung der
partiellen Ableitungen nicht mehr die vorwärts Rechteckapproximation notwendig
ist, sondern dass der Entwurf des rekurrenten Netzes und die Implementierung der
Parameteradaption anhand einer beliebigen Integrationsmethode erfolgen können.
Die Voraussetzung hierfür wurde dadurch erreicht, dass die Berechnung der partiellen
Ableitungen anhand der aktuellen Werte des rekurrenten Netzes und nicht, wie
in Abschnitt 3.1.4 hergeleitet, anhand der um einen Zeitschritt zurückliegenden Werte
erfolgt. Somit können außerdem die Verzögerungsneuronen, die den vergangenen
Zustand des rekurrenten Netzes vorhalten, eingespart werden.