Identifikation nichtlinearer mechatronischer Systeme mit ...

3.1 Strukturierte rekurrente Netze 55
Die partielle Differentiation der Systembeschreibung nach den einzelnen Gewichten
führt auf
Mit ∂u[k−1]
∂ ˆw
∂ˆx[k]
∂ ˆw
∂ = Â · ˆx[k − 1]
∂ ˆw
+ ∂
∂ ˆw
+ ∂
∂ ˆw
+
ˆb · u[k − 1] +
ˆK ·
NL (u[k − 1], ˆx[k − 1])
= 0 und der Produktregel ergibt sich weiter
∂ˆx[k]
∂ ˆw
= ∂Â
∂ ˆw
· ˆx[k − 1] +  · ∂ˆx[k−1]
∂ ˆw +
+ ∂ˆb · u[k − 1]+
∂ ˆw
+ ∂ ˆK
∂ ˆw · NL (u[k − 1], ˆx[k − 1]) + ˆK · ∂ NL(u[k−1],ˆx[k−1])
∂ ˆw
Durch Einführung der Jacobi-Matrix ˆJˆx[k] = ∂ˆx[k]
∂ ˆw
mungen ergibt sich
ˆJˆx[k] = Â · ˆJˆx[k−1]+
+ ∂Â
∂ ˆw
· ˆx[k − 1]+
+ ∂ˆb · u[k − 1]+
∂ ˆw
und einigen elementaren Umfor-
+ ∂ ˆK
∂ ˆw · NL (u[k − 1], ˆx[k − 1]) + ˆK · ∂ NL(u[k−1],ˆx[k−1])
∂ ˆw
Durch Zusammenfassen erhält man diese Gleichung in der Form
ˆJˆx[k] = Â · ˆJˆx[k−1] + ˆF mit
ˆF = ˆf
1
· · · fˆ i
· · ·
fˆ p
Die Spalten der Matrix ˆF ergeben sich dabei zu
ˆf =
i ∂ · ˆx[k − 1]+
∂ ˆwi
+ ∂ˆb · u[k − 1]+
∂ ˆwi
+ ∂ ˆK
∂ ˆwi · NL (u[k − 1], ˆx[k − 1]) + ˆK · ∂ NL(u[k−1],ˆx[k−1])
∂ ˆwi
(3.6)
Entsprechend der Ausgangsgleichung ˆy[k] = ĉ T · ˆx[k] werden aus der Jacobi-Matrix
ˆJˆx[k] die partiellen Ableitungen ∇ˆy[k] gewonnen.
(∇ˆy[k]) T
∂ˆy[k]
=
∂ ˆw1
. . . ∂ˆy[k]
∂ ˆwp
= ĉ T · ˆJˆx[k]
(3.7)
Die Gleichungen (3.6) und (3.7) entsprechen der Systembeschreibung, wobei die
Matrix ˆF die partielle Differentiation der Systemmatrix ∂Â[k]
∂ ˆwi , des Eingriffs ∂ˆ b·u[k−1]
∂ ˆwi