Identifikation nichtlinearer mechatronischer Systeme mit ...

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12 2 Statische und dynamische Neuronale Netze weiche Transferfunktionen harte Transferfunktionen T (ûΣ) T (ûΣ) tanh(ûΣ) = 1 − e−2ûΣ 1 + e 2ûΣ 0 PSfrag replacements tanh Funktion 1 −1 O − U + U −cûΣ 1 + PSfrag e replacements verallg. Logistikfunktion O 0 c · ûΣ PSfrag replacements lineare Funktion 0 sign(ûΣ) PSfrag replacements Signumfunktion U 1 −1 +1, ûΣ ≥ 0 = PSfrag replacements 0, sonst 0 Stufenfunktion Tabelle 2.1: Typische Transferfunktionen T (ûΣ) 1 0 0 0 0 c↑ c↑ û Σ û Σ û Σ û Σ û Σ
2.3 Statische Neuronale Netze 13 bei den Gewichten zeigen an, welche beiden Perzeptronen mit diesem Gewicht verbunden werden. Der untere Index bei den Transferfunktionen gibt die Nummer des Perzeptrons an. Mit einem MLP-Netz lassen sich nichtlineare statische Funktionen hoher Dimension sehr gut approximieren. Aus regelungstechnischer Sicht ist das MLP-Netz jedoch nur bedingt geeignet, da sich eine Änderung der Stützwerte nicht lokal sondern global auswirkt [Schäffner, 1996]. 2.3.2 Radial-Basis-Function-Network Das Radial-Basis-Function-Network (RBF) [Poggio und Girosi, 1989] stellt die Grundstruktur der Approximatoren mit gewichteten lokalen Basisfunktionen dar. Die mathematische Beschreibung eines RBF-Netzes mit r Neuronen, den Gewichten ˆΘj und den Stützstellen ξj mit 1 ≤ j ≤ r lautet ˆyRBF = r j=1 ˆΘj · e − (u−ξ j )2 2·σ 2 Aj(u) Hierbei bezeichnet man die Gauß’schen Glockenkurven Aj(u) als Basis- bzw. Aktivierungsfunktionen. Die Darstellung der Glockenkurven ist an die der Standardverteilung mit σ 2 angeglichen. Die Parameter der Aktivierungsfunktionen sind der Glättungsfaktor σ, der den Grad der Überlappung zwischen benachbarten Aktivierungen bestimmt, und die Stützstellen ξj, die die Lage der Zentren der Gaußglocken im Eingangsraum beschreiben. Im Allgemeinen müssen die Stützstellen ξj nicht gleichmäßig verteilt sein. Bei den in dieser Arbeit eingesetzten Approximatoren sind die Stützstellen im Eingangsbereich jedoch äquidistant verteilt. Dadurch ist der Abstand zwischen zwei Stützstellen ∆ξ konstant. Wird der Eingangsbereich, der z. B. im Fall einer Reibungskennlinie durch die maximal zulässigen Drehzahlen gegeben ist, allgemein durch umax und umin beschrieben, berechnen sich die Stützstellen zu ξj = umin + (j − 1) · umax − umin r − 1 Damit muss für die Anzahl r der Stützstellen r ≥ 2 gelten. Zur besseren Vergleichbarkeit wird der Glättungsfaktor σ auf den Abstand zwischen zwei Stützstellen normiert. Damit gilt σnorm = σ ∆ξ . Mit dem normierten Glättungsfaktor ergibt sich die mathematische Beschreibung des RBF-Netzes zu ˆyRBF = r j=1 ˆΘj · Aj(u) mit Aj(u) = e − (u−ξ j )2 2·σ 2 norm ·∆ξ2 (2.3)
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