Identifikation nichtlinearer mechatronischer Systeme mit ...

16 2 Statische und dynamische Neuronale Netze
ˆyGRNN, ˆyRBF
ˆyRBF
PSfrag replacements ˆyGRNN
ξ1 ξ2 ξ3 ξ4 ξ5 u
Abb. 2.8: Approximationsverhalten von RBF-Netz und GRNN bei identischen Parametern
ξ, ˆ Θ und σ
2.3.4 Harmonic-Activated-Neural-Network
Obwohl das GRNN grundsätzlich zur Approximation periodischer Funktionen geeignet
ist, wirken die Stützwerte nur lokal, was zu einer begrenzten örtlichen Auflösung
führt. Für eine gleichmäßig hohe Approximationsgenauigkeit wäre eine große Anzahl
an Stützwerten erforderlich, die aufgrund des Rechenaufwandes nicht mehr
in Echtzeit bearbeitet werden können. Aus diesem Grund wird ein weiterer Funktionsapproximator,
das Harmonic-Activated-Neural-Network (HANN), eingeführt
[Beuschel, 2000].
Die Grundidee ist, eine periodische Nichtlinearität durch eine reelle Fourierreihe
nachzubilden. Das führt auf einen Approximator mit harmonischen Basisfunktionen.
Die Grundstruktur des HANN mit r Neuronen zur Approximation einer mit
2 π periodischen Funktion bis zur
r−1 -ten Oberwelle ist in Abbildung 2.9 dar-
2
gestellt. Entsprechend muss für eine Funktion mit der Periode P der Eingang des
gewichtet werden.
Approximators mit 2π
P
Für die Anzahl r der Neuronen gilt die Einschränkung, dass r ungerade und größer
2 sein muss.
Die mathematische Beschreibung des HANN, angelehnt an die Definition der reellen
Fourierreihe, lautet
ˆyHANN = ˆ Θ0 +
2
r−1
j=1
ˆΘj · cos(j u) + ˆ
Θ r+1
( +j) · sin(j u)
2
(2.7)