Identifikation nichtlinearer mechatronischer Systeme mit ...

50 3 Identifikation nichtlinearer Systeme
womit die Gleichung zur Parameteradaption in der Form
ˆw[k + 1] = ˆw[k] − η · ∇E[ˆw, k]| ˆw[k]
angegeben werden kann. Kern dieser Gleichung ist der Gradient ∇E[ˆw, k], der entsprechend
der Definition von E nach Gleichung (3.1) weiter zerlegt werden kann
∇E[ˆw, k]| ˆw[k] = 1
· 2 · (y[k] − ˆy[ˆw, k]) · − ∇ˆy[ˆw, k]| ˆw[k] = −e[ˆw, k] · ∇ˆy[ˆw, k]| ˆw[k]
2
Wird dieser Gradient in die Gleichung zur Parameteradaption eingesetzt, ergibt sich
das Lerngesetz nach dem Gradientenabstiegsverfahren zu
ˆw[k + 1] = ˆw[k] + η · e[k] · ∇ˆy[ˆw, k]| ˆw[k]
(3.2)
Dieses Lerngesetz wird dahingehend erweitert, dass die Lernschrittweite η nicht
ein skalarer Wert ist, sondern für jedes Gewicht ˆwi eine eigene Lernschrittweite
ηi vorhanden ist. Damit erweitert sich η zu einem Vektor. Zusätzlich wird für jeden
Parameter ein Momentumterm 0 ≤ αi < 1 eingeführt, der in die Berechnung
der aktuellen Gewichtsänderung auch die vergangene Gewichtsänderung einbezieht.
Der Momentumterm hat den Vorteil, dass die Gewichtsanpassung unempfindlicher
gegenüber Plateaus in der Fehlerebene E und Rauschanteilen im Gradienten ∇E
wird.
Diese Ergänzungen führen auf die für die strukturierten rekurrenten Netze eingesetzte
Form des Lerngesetzes 4
mit
ˆw[k + 1] = ˆw[k] + ∆ˆw[k] (3.3)
∆ˆw[k] = e[k] · diag η · ∇ˆy[ˆw, k]| ˆw[k] + diag (α) · ∆ˆw[k − 1]
Mit dem Lerngesetz kann der neue Parametervektor ˆw für den Abtastschritt k+1 aus
dem Parametervektor ˆw, dem Ausgangsfehler e[k] und den partiellen Ableitungen
∇ˆy zum aktuellen Abtastschritt k und der vergangenen Gewichtsänderung ∆ˆw[k−1]
berechnet werden.
Da es sich bei dem Gradientenverfahren um eine iterative Methode handelt, sind für
die erste Gewichtsanpassung die Startwerte ˆw[0] notwendig. Die Startwerte stellen
Vorwissen dar, das bei der Identifikation zusätzlich zur Struktur des rekurrenten
Netzes eingebracht werden muss. Das Gradientenverfahren führt dann auf das lokale
Minimum von E im Bereich der Startwerte [Meyberg und Vachenauer, 1995].
Wegen der Initialisierung des Gradientenverfahrens mit konstanten Startwerten ˆw[0]
ergibt sich für die Gewichtsänderung ∆ˆw[0] = 0. Nachteilig bei diesem Verfahren
ist die große Abhängigkeit der Konvergenzgeschwindigkeit der Gewichte von den
Lernparametern η und α. Für die Wahl der Lernparameter, die manuell bestimmt
4 diag(η) ist eine Diagonalmatrix mit den Elementen des Vektors η in der Hauptdiagonalen.