Identifikation nichtlinearer mechatronischer Systeme mit ...

56 3 Identifikation nichtlinearer Systeme
und der Nichtlinearitäten ∂
ˆK · NL (u[k − 1], ˆx[k − 1]) zusammenfasst. Damit
∂ ˆwi
kann für die Berechnung der partiellen Ableitungen die Struktur des rekurrenten
Netzes übernommen werden, wobei die durch die Matrix ˆF beschriebenen Eingriffe
ergänzt werden müssen.
Der Rechenaufwand im Modell kann verringert werden, wenn die Einträge in ˆF,
wie in Abschnitt 3.1.6 durchgeführt, aus dem rekurrenten Netz in der Form von
Vergangenheitswerten einzelner Neuronen ausgekoppelt werden und nicht aus den
einzelnen Zuständen berechnet werden.
Aus Gleichung (3.6) ist auch ersichtlich, dass die aktuelle Jacobi-Matrix ˆJˆx[k] aus
der vergangenen ˆJˆx[k−1] berechnet wird. Entsprechend ist zur Berechnung von ˆJˆx[1]
die Matrix ˆJˆx[0] notwendig. Da für k ≤ 0 alle Zustände ˆx[k] und alle Gewichte ˆw
konstant sind, gilt für die Jacobi-Matrix ˆJˆx[0] = 0.
Nachteile bei dieser Methode sind die notwendigen Verzögerungsneuronen um den
Abtastschritt [k − 1] vorzuhalten, und die zwingend erforderliche Euler-Vorwärts-
Approximation der Integratoren. Dies lässt sich hier nicht vermeiden, da die benötigten
partiellen Ableitungen innerhalb der Integrationsregel ausgekoppelt werden müssen.
Dies wird in Kapitel 3.1.6 anschaulich dargestellt.
3.1.5 Implementierung der statischen Neuronalen Netze
Wie bereits erwähnt, sind die statischen Neuronalen Netze im Allgemeinen nur Subsysteme
des strukturierten rekurrenten Netzes. Das heißt die Gewichte ˆ Θ eines statischen
Neuronalen Netzes sind im Parametervektor ˆw neben den restlichen Gewichten
des rekurrenten Netzes enthalten. Damit sind auch die Eingangsgrößen und die
Ausgangsgröße eines Approximators abhängig von den Parametern ˆw. Entsprechend
gilt für die partiellen Ableitungen der Eingangsgrößen nach den Gewichten
∂û
= 0 mit û ≡ ˆxNL
∂ ˆwi
Aus diesem Grund muss bei der Berechnung der partiellen Ableitungen ∂ NL
∂ ˆwi unterschieden
werden, ob nach einem Gewicht des Funktionsapproximators (es gilt
ˆwi = ˆ Θl) 6 oder nach einem Gewicht des restlichen Netzes (es gilt ˆwi = ˆ Θl ) differenziert
wird. Im Folgenden gilt NL = ˆyRBF bzw. NL = ˆyGRNN etc.
Die partiellen Ableitungen des RBF-Netzes ergeben sich für den Fall ˆwi = ˆ Θl (mit
6 ˆ Θl ist ein Gewicht des Funktionsapproximators mit 1 ≤ l ≤ r, wobei r die Anzahl der Stützstellen
des Funktionsapproximators darstellt.