Technische Optik in der Praxis

116 4 Entwicklung optischer Systeme
tet werden. Am einfachsten geschieht dies mittels der Gewichtsfaktoren Gi
entsprechend
fi = Gi (fi,ist − fi,soll) . (4.15)
Die Gewichtsfaktoren als reine Zahlenwerte werden für jeden Fehler durch
den Programmbenutzer vorgegeben, oder es wird eine automatische Bestimmung
der Gewichte durchgeführt, was allerdings oft nicht den gewünschten
Korrektionserfolg bringt. Die Gewichtswerte weisen in der Regel immense Dimensionsunterschiede
auf. Anschaulicher und physikalisch sinnvoller ist die
Betrachtung sog. relativer Fehler gemäß
fi = fi,ist − fi,soll
. (4.16)
fi,tol
Hierbei werden anstelle von Gewichtsfaktoren zu den Fehlersollwerten
zulässige Fehlertoleranzen fi,tol vorgegeben, die dieselben Einheiten besitzen
und deren Beträge in den gleichen Größenordnungen liegen wie die Fehler
selbst. Ein weiterer großer Vorteil in dieser Art der Fehlerbetrachtung besteht
darin, daß ein Fehler als korrigiert gilt, wenn der zugehörige relative
Fehler kleiner oder gleich eins ist und damit sich der Fehlerwert innerhalb
der Toleranzvorgabe befindet. Dies kann für die Frage der Anzahl der zu
berücksichtigenden Fehler und damit für den Ablauf der Optimierung von
großem Nutzen sein.
Das Grundprinzip der Optimierungsrechnung, wie sie den meisten kommerziellen
Optik-Programmen zugrunde liegt, sei im Folgenden kurz beschrieben.
Betrachtet werden zum einen N zu korrigierende Fehler fi zum anderen
M Parameteränderungen pi, korrespondierend zu den oben genannten Variablen,
die in den Vektoren f und p zusammengefaßt werden. Die Empfindlichkeiten
der einzelnen Fehler auf die einzelnen Variablenänderungen werden
beschrieben durch die entsprechenden Differentialquotienten (bzw. Differenzenquotienten)
und zusammengefaßt in der Fehleränderungsmatrix A mit
den Komponenten
ai,j = ∂fi
für 1 ≤ i ≤ N,1 ≤ j ≤ M. (4.17)
∂pj
Die Basis für die weitere Betrachtung ist die Annahme eines linearen
Modells, d. h. eines linearen Zusammenhangs zwischen Variablenänderungen
und Fehleränderungen. Damit ergibt sich, ausgehend vom Fehlervektor f 0 des
Startsystems, zusammen mit dem Variablenänderungsvektor p der geänderte
Fehlervektor
f = f 0 + Ap . (4.18)
Als Bewertungsfunktion (merit function)für das System wird die Gesamtheit
aller Fehler in Form ihrer Quadratsumme betrachtet, vektoriell beschrieben
durch
Ψ=f T f . (4.19)