Technische Optik in der Praxis

4.6 Prinzip der Systemoptimierung 117
Diese Fehlerfunktion gilt es zu minimieren (Minimierung der Fehlerquadratsumme,
Least Squares Method). Das Minimum wird bestimmt durch die
Forderung
grad Ψ(p) =0. (4.20)
Mit (4.18) und (4.19) ergibt sich somit ein lineares Gleichungssystem,
dessen Auflösung den Variablenänderungsvektor ergibt:
p = −(A T A) −1 A T f 0 . (4.21)
Führt man die Minimierung der Fehlerfunktion auf diese Weise durch, ergeben
sich in der Regel relativ große Variablenänderungen. Dadurch verliert
das lineare Modell seine Gültigkeit, und die tatsächlichen Fehleränderungen
können sich erheblich von den prognostizierten unterscheiden. Um dies zu
umgehen, werden zusätzlich minimale Variablenänderungen gefordert. Dazu
wird die zu minimierende Bewertungsfunktion erweitert durch deren Quadratsumme
gemäß
Ψ=f T f + Dp T p . (4.22)
Die Kopplung beider Forderungen nach Minimierung der Quadratsumme,
sowohl der Fehler als auch der Variablenänderungen, geschieht mit Hilfe des
Lagrangeschen Multiplikators oder Dämpfungsfaktors D. Mit dem Einheitsvektor
E ergibt sich nun analog zur Minimum-Bestimmung nach (4.20) für
den Variablenänderungsvektor
p = −(A T A + DE) −1 A T f 0 . (6.20)
Dieses in der Optik-Rechnung überwiegend angewandte Prinzip für die
programmgesteuerte Optimierung, wird als gedämpftes Minimumverfahren
(Damped Least Squares, DLS) bezeichnet. Es liefert zunächst die Lösung für
den ersten Schritt in der Optimierungsrechnung. Die Güte der Optimierung
wird zum einen bestimmt durch die Wahl eines geeigneten Dämpfungsfaktors
und zum anderen durch geschickte, schrittweise Einführung der errechneten
Variablenänderungen sowie durch weitere spezielle Abfrage- und Steuermechanismen
nach jedem Schritt.
Der Erfolg jeder Optimierung ist jedoch in hohem Maße von den Vorgabedaten
abhängig, also von der Wahl der variablen Parameter und von der
Vorgabe der Fehlersollwerte und -toleranzen bzw. -gewichte. Insbesondere die
Freigabe von Variablen für die Korrektion kann den Gang der Entwicklung
entscheidend beeinflussen. Die Bestimmung der Empfindlichkeiten einzelner
Parameter auf die geforderten Fehler durch differentielle Vorrechnungen zu
den optischen Grunddaten, den Seidel-Aberrationen und den Strahlaberrationen
können hier über die Einflußmöglichkeiten einzelner Parameter Aufschluß
geben. Dadurch kann verhindert werden, daß mit relativ unwirksamen
Parametern große Korrektionsschritte versucht werden.