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La crise, aujourd'hui, est sans doute plus profonde que
jamais et touche la 'bulle' mathématique non seulement
dans sa dimension 'logico-mathématique' mais bien dans
sa dimension 'onto-logico-mathématique'. Le mathématicien
Kurt Gödel, par exemple, en vient à introduire comme
une béance dans l'édifice, en insistant sur la différence
entre 'prouvabilité' et 'vérité' et en démontrant que la
prouvabilité reste toujours moins forte que la vérité !
Depuis, la béance ne cesse de s'élargir. On découvre de
plus en plus de vérités mathématiques que nous ne pourrons
jamais prouver avec nos outils, et peut-être même
sont-elles la majorité.
Incomplétude
Avant Gödel on s'efforçait de reconstruire les bases des
mathématiques en revenant à leurs briques de base, aux
éléments fondateurs, à savoir les nombres. A partir des
propriétés élémentaires des nombres on pensait pouvoir
reconstruire, avec toute la rigueur logique, le tout de
l'édifice. Il utilise ces mêmes outils. Il découvre que dans
leur immensité il y a toujours des propositions qui ne
pourront pas être prouvées aux moyens de ces outils !
En même temps il prouve que les mathématiques restent
un outil parfaitement fiable. Seulement elle ne sont pas
parfaites ! Elles ne peuvent pas tout prouver ! Elles
fonctionnent dans une 'bulle'. Et cette bulle n'est pas
infinie.
C'est en 1931 que Kurt Gödel publie ses théorèmes sur
l'incomplétude. Théorème 1: à l'intérieur de n'importe
quelle branche (système) des mathématiques il y aura
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