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vérité première sur laquelle se fonde une autre connaissance.
On peut comparer l'axiome mathématique au
postulat de la physique théorique.
Une axiomatique est l'ensemble des axiomes d'une
théorie. La pertinence d'une théorie dépend de la pertinence
de ses axiomes. C'est l'axiomatique qui définit la
théorie. L'axiome, point de départ dans un système de
logique, peut être choisi arbitrairement. Mais il ne peut
être remis en cause à l'intérieur de cette théorie. Sa
seule contrainte est d'être non-contradictoire. La théorie
doit être cohérente et consistante.
Les fondements
La solidité de l'édifice dépend de la solidité des fondements.
À partir de quels principes les connaissances
mathématiques se développent-elles ? Ici il s'agit des
principes sur lesquels est établi le système avec sa vérité
et son contenu. La grande interrogation porte inlassablement
sur la solidité des propositions de fondation, à
savoir les axiomes et l'axiomatique. Sont-elles plus que
de simples suppositions ? Différentes conceptions s'affrontent
ici. Pour le logicisme, les mathématiques sont
une extension de la logique et, partant, concepts et
théories mathématiques sont réductibles à la logique.
Pour le constructivisme, l'objet mathématique tient dans
sa construction; le 'construire' c'est prouver qu'il existe.
Pour le formalisme, la vérité des mathématiques est
réduite à leur cohérence interne, c'est-à-dire à la noncontradiction
des propositions.
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