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toujours quelques propositions dont on ne peut démontrer
qu'elles sont vraies ou fausses à partir des règles et
axiomes de cette branche elle-même. Il existe des
énoncés sur lesquels on sait qu'on ne pourra jamais rien
dire dans le cadre de la théorie, c'est-à-dire à l'intérieur
du système. Théorème 2: il existe un énoncé exprimant
la cohérence de la théorie, à savoir le fait qu'elle ne
permette pas de tout démontrer et donc n'importe quoi, et
que cet énoncé ne peut pas être démontré dans la
théorie elle-même, c'est-à-dire, encore une fois, à l'intérieur
du système.
A l'intérieur d'un système, vous pouvez prouver n'importe
quel énoncé imaginable sur des nombres à condition de
sortir du système, mettant ainsi en jeu de nouvelles
règles et de nouveaux axiomes. Mais ce faisant vous ne
faites que créer un système plus large comportant luimême
ses propres énoncés improuvables. Tout système
logique, quelle que soit sa complexité, est donc par
définition incomplet. Chacun d'entre eux contient à
chaque instant plus d'énoncés vrais qu'il n'est capable de
prouver à partir de ses propres règles de base.
Le théorème de Gödel implique également qu'un
ordinateur ne peut jamais être aussi intelligent qu'un être
humain parce que l'étendue de ses connaissances se
trouve limité par un ensemble fixe d'axiomes alors que
les humains sont capables de découvrir des vérités
inattendues. Vous ne pouvez donc jamais vous comprendre
complètement vous-mêmes puisque votre esprit,
comme n'importe quel autre système clos, peut seulement
être sûr de ce qu'il connaît de lui-même en se
basant sur ce qu'il connaît de lui-même.
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