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«La possibilité même de la science mathématique,
affirme Henri Poincaré dans La Science et l'hypothèse,
semble une contradiction insoluble. Si cette science n'est
déductive qu'en apparence, d'où lui vient cette parfaite
rigueur que personne ne songe à mettre en doute ? Si,
au contraire, toutes les propositions qu'elle énonce
peuvent se tirer les unes des autres par les règles de la
logique formelle, comment la mathématique ne se réduitelle
pas à une immense tautologie ? Le syllogisme ne
peut rien nous apprendre d'essentiellement nouveau et,
si tout devait sortir du principe d'identité, tout devrait
aussi pouvoir s'y ramener. » 1
Cette réalité que le mathématicien poursuit est quelque
chose comme un 'x', une inconnue, cachée et imprévisible,
qui ne se débusque jamais que partiellement, et qui
relance sans cesse la poursuite. Si cette réalité n'existait
pas, les mathématiques ne seraient qu'un jeu gratuit.
Comment expliquer alors leur merveilleuse efficacité au
service de toutes les autres sciences ?
Les réalités mathématiques seraient donc 'réelles', au
sens où elles existeraient même si l'homme n'existait
pas. Le 'réalisme' platonicien souligne l'existence de
'choses' mathématiques. Bien que leur réalité soit idéale,
les entités mathématiques ont une existence indépendante
de notre activité mentale de pensée et de
connaissance. Elles ne sont pas de simples abstractions
tirées du monde sensible, ni de pures conventions, ni de
simples instruments, mais des êtres jouissant d'une
existent hors de nous et d'une vie propre, comme les
1 Henri Poincaré, La Science et l'hypothèse, p 31
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