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postulat d'Euclide ». Euclide utilise sans la démontrer
une propriété des droites. Il a toujours semblé moins
évident que les autres. Plusieurs mathématiciens soupçonnèrent
qu'il pouvait être démontré à partir des autres
postulats, mais toutes les tentatives pour ce faire
échouèrent. Vers le milieu du XIXe siècle, il fut démontré
qu'une telle démonstration n'existe pas, que le cinquième
postulat est indépendant des quatre autres. On peut en
effet supposer qu'aucune parallèle ne passe par un point
situé en dehors d'une droite, ou qu'il existe une unique
parallèle ou encore qu'il en existe une infinité. Chacun de
ces choix nous donne différentes formes alternatives de
géométrie, dans lesquelles les mesures des angles
intérieurs d'un triangle s'ajoutent pour donner une valeur
inférieure, égale ou supérieure à la mesure de l'angle
formé par une droite (angle plat). Il devient ainsi possible
de construire des géométries non euclidiennes cohérentes.
Vérification
Sur quoi se fonde ultimement la vérité des mathématiques
? Au départ de toute vérification il y a nécessairement
une croyance (au sens logique et métaphysique),
c'est-à-dire une adhésion de base sur laquelle
s'appuie originairement l'esprit dans sa démarche. En ce
qui concerne l'édifice mathématique, sa vérité peut
s'établir selon deux modèles. 1) Le premier modèle
s'appuie sur la fondation sur une base solide. Il faut
distinguer entre croyances dérivées et croyances de
base. Ces croyances de base portent et assurent les
croyances dérivées. Elles supportent tout l'édifice. Il est
donc très important qu'elles soient immunisées à l'égard
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