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Axiomes et postulats
Un postulat est un principe utilisé dans la construction
d'un système déductif. On ne le démontre pas lui-même
mais on laisse ouverte la possibilité de le démontrer plus
tard. Il est donc différent de l'axiome qui est toujours
posé au départ comme un élément fondamental du système
qu'on cherche à démontrer.
Un postulat peut donc s'utiliser avec l'assentiment de
l'auditeur. Il est pris comme un principe non démontré
mais très probablement légitime. Intuitivement, en effet, il
ne semble pas contestable ou bien il est prouvé ultérieurement
par des démonstrations non tautologiques. La
plupart des postulats sont des marques de bon sens en
accord avec l'expérience.
Le plus ancien et le plus célèbre système d'axiomes est
celui d'Euclide. Les postulats et les axiomes qu'Euclide a
formulés dans ses Eléments forment un tout cohérent.
Après les définitions, Euclide pose ses fameux postulats.
1) Étant donnés deux points A et B, il existe une droite
passant par A et B. – 2) Tout segment [AB] est
prolongeable en une droite passant par A et B. – 3) Pour
tout point A et tout point B distinct de A, on peut décrire
un cercle de centre A passant par B. – 4) Tous les angles
droits sont égaux entre eux. – 5) Par un point extérieur à
une droite, on peut mener une parallèle et une seule à
cette droite (il s'agit ici de la formulation la plus connue et
la plus simple).
Ce cinquième et dernier postulat est le plus célèbre de
tous, si bien qu'il est souvent appelé simplement « le
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