Diseño para Fatiga - webaero

– n ⎛ n ⎞ ⎛ n
⎞ ⎛ n ⎞ ⎛ n ⎞
∑ x1y
⎜ ⎟ ⎜ ∑ x1⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
1-
y -
⎜ ∑ x
⎟ ⎜ ∑ y
⎜ ∑ x1⎟
⎜ ∑ yi⎟
1 1 i⎟
i=
1 ⎝ i=
1 ⎠ ⎝ i
= 1
⎠ ⎝ i=
1 ⎠ ⎝ i=
1 ⎠
= (1.4)
n
n ⎛ n
2
⎛ n
2
⎞
⎞
∑ x2
- ⎜ ⎟ ∑ x2
- ⎜ ⎟
1 ⎜∑
x1⎟
1 ⎜∑
x1⎟
i=
1 ⎝i=
1 ⎠ i=
1 ⎝i=
1 ⎠
y
– – – –
a = y = b .x
(1.5)
donde y – y x – son respectivamente las medias de
y i y x i , es decir,
donde n es el número de
puntos de referencia (tamaño de la
muestra).
El segundo paso consiste en hallar la
variación de la distribución φ(y i ) en una cierta x i .
Se asume que la variación de y i , escrita Var(y i ),
es constante para todos los valores de x i =
logΔσ i . La hipótesis de la varianza constante es
cuestionable en ocasiones, pero se revela cierta
para una mayoría de datos de los ensayos de
fatiga. Generalmente, también se asume que,
para cualquier valor fijo de x i , el valor correspondiente
de y i forma una distribución normal.
Uno de los principales indicadores de
comparación que se utiliza en relación con el sistema
de clasificación adoptado en el Eurocódigo
3 [1] es la resistencia característica a dos millones
de ciclos, escrita x c = log Δσ c . Supongamos
que y c = log N c sea la variable aleatoria correspondiente
a un cierto valor de x c .
La distribución muestral de y c puede obtenerse
en base al siguiente cálculo [2]:
y
– ∑ xi
– ∑ y
x = , y i
n n
–
yc
= a – + b – .xc ⎛ 1 x - x
Var ( y / x ) = σ2
y x = s2
c
c c c c y ⎜1+
+
⎝ n sxx
190
⎞
⎟
⎠
(1.6)
(1.7)
donde Var (y c /x c ) es la varianza de y c para x
igual a x c .
donde
y 2
( )
x . y
= y2
∑
- i
∑
S
and S = x . y i ∑
- i
yy ∑ 1 y xx ∑ i i
n
n
(1.8)
(1.9)
La siguiente expresión proporciona una
estimación del intervalo de confianza del 95%
para y c :
(10)
donde t 95 es el porcentual del 95% de la distribución
de estudio con n-2 grados de libertad [2].
Por lo tanto, existe la confianza de que el 95% de
los datos t para “el estudio” de y c tendrán valores
superiores a y ck .
Con gran frecuencia sucede que, en los
análisis de los ensayos de fatiga, el tamaño de la
muestra es pequeño (n≤30) y el valor de la estimación
de la variación de y c , tal y como lo define
la ecuación (1.7) varía considerablemente
entre muestras. Con el fin de considerar este
hecho, se ha asumido que la distribución de φ(y i )
para un tamaño de muestra n≤30 sigue una distribución
t de estudio.
Conociendo y ck en base a la ecuación
(1.10), es posible calcular la resistencia característica
a dos millones de ciclos a partir de la
ecuación (1.1). Finalmente se lleva a cabo la
estimación de la confianza de un lado para un
punto concreto al que se denomina como la
resistencia característica a dos millones de
ciclos.
La siguiente ecuación proporciona la
curva S-N característica:
log Nk
= (log A -
( S - b.
S
s2
yy xy)
y =
n- 2
yck = yc
- t95.
σy
c / xc
t 95
t95.
σyc xc)
-m
. log Δσk
(1.11)
y la resistencia característica a dos millones de
ciclos puede calcularse a partir de: