Diseño para Fatiga - webaero

2. SOLUCIÓN BÁSICA PARA UN
RANGO DE TENSIÓN EN UN
PROBLEMA DE ELASTICIDAD
PLANA
Es posible determinar las tensiones y
deformaciones situadas en cualquier punto cercano
a la punta de una grieta (figura 1) a partir
de la teoría de la elasticidad. Se sabe que las
tensiones y las deformaciones situadas en el
interior de un cuerpo sólido sometido a cargas
externas y/o a condiciones de desplazamiento
satisfacen una serie de ecuaciones diferenciales
fundamentales, que son resultado del equilibrio,
condiciones de compatibilidad y propiedades
físicas del material que constituye el cuerpo sólido.
El proceso de solución de un problema de
elasticidad plana consiste en hallar una función
matemática específica de la distribución de las
tensiones (o deformaciones) que se ajuste, no
sólo a estas ecuaciones diferenciales, sino que
también satisfaga las condiciones de contorno
expresadas en términos de fuerzas o desplazamientos
especificados en la superficie del cuerpo.
En los problemas de tensión plana (es decir,
σ zz = σ zx = σ zy = 0; que es el caso de las chapas
delgadas) o en los problemas de deformación
plana (es decir, ε xz = ε yz = ε zz = 0; que corresponde
al estado de las deformaciones existente
y
Figura 1 Campo de tensión cerca de la punta de una fisura
r
σ xx
θ
σ xy
z
SOLUCIÓN BÁSICA PARA UN RANGO…
σ yy
σ yz
σ xz
σ zz
x
en las regiones de espesor medio de una chapa
gruesa) el método habitual para solucionar esta
serie de ecuaciones diferenciales consiste en
introducir la llamada función de tensión de Airy.
La solución de un problema de elasticidad
plana se reduce a hallar la función biarmónica
F que satisfaga las condiciones que se han
indicado anteriormente. Puede demostrarse [4]
que, en el caso de fuerzas interiores cero, es
posible determinar las tensiones del problema
de elasticidad plana a partir de las siguientes
relaciones:
σ xx = ∂ 2 F/∂y 2
σ yy = ∂ 2 F/∂x 2 (2.1)
σ xy = ∂ 2 F/∂x∂y
En el caso de condiciones de contorno
discontinuas, el método polinomial clásico no
resulta adecuado si se pretende satisfacer adecuadamente
las condiciones de contorno.
Westergaard y Mushkelishvili han desarrollado
independientemente métodos generales para las
soluciones de la función de la tensión que resultan
adecuados para la solución del problema
plano de la elasticidad en el caso de los cuerpos
con fisuras. El método de Westergaard en particular
resulta especialmente aplicable a los problemas
de grietas en placas infinitas.
2.1 Método de Westergaard
El método propuesto por Westergaard
[5] expresa sistemáticamente la función de la
tensión de Airy F en términos de funciones
armónicas generales a una forma deseable:
donde
F = f 1 + x.f 2 + y.f 3
(2.2)
F es biarmónica cuando f 1 , f 2 y f 3 son funciones
armónicas.
Westergaard escoge las funciones
f 1 , f 2 , o f 3 como las partes reales e imagi-
281