Diseño para Fatiga - webaero

narias de una función analítica y sus derivadas
(denominadas las funciones Z). Teniendo
en cuenta la particularidad del problema,
como por ejemplo la simetría del rango de
tensión, es posible simplificar F adoptando f 2
o f 3 = 0. Asumiendo que Z es la función analítica,
sus derivadas son:
Z′ = dZ/dz; Z″ = dZ′/dz; Z″′ = dZ″/dz (2.3)
Si existe una continuidad del desplazamiento
en la dirección del eje Y (figura 2) y una
grieta paralela a la dirección de x, la función de
la tensión de Airy, tal y como se expresa mediante
la ecuación (2.2), debido a la simetría del
rango de tensión, puede escribirse de la siguiente
manera:
F = Re Z + y . Im Z′ (2.4)
Re e IM son respectivamente las partes
real e imaginaria de las funciones Z. La coordenada
polar r y θ (figura 2) se utilizan para localizar
cualquier punto en la zona local situada
delante de la punta de la grieta; por lo tanto
z = ie iθ = x + iy
A partir de la ecuación (2.4) se derivan las
siguientes expresiones:
282
y
-a +a
2a
Figura 2 Fisura a través del espesor en una chapa infinita
y
σ ∞
θ
x
M
∂ 2 F/∂x 2 = Re Z” + y . Im Z″′
∂ 2 F/∂y 2 = Re Z” - y . Im Z″′ (2.5)
∂ 2 F/∂x∂y = y . Re Z”
Por lo tanto, teniendo en cuenta las ecuaciones
(2.5), las tensiones que proporciona la
ecuación (2.1) se expresan mediante:
σ xx = Re Z” - y . Im Z″′
σ yy = Re Z” + y . Im Z″′ (2.6)
σ xy = - y . Re Z”
Es posible observar que este tipo de función
de la tensión de Airy satisface ciertos problemas
para los que se mantienen condiciones de simetría,
por ejemplo para y = 0; σ xx = σ yy y σ xy = 0.
2.2 Definición de z (o de sus
derivadas) para el Caso de
una Grieta a Través del
Espesor de Longitud 2a en
una Placa Infinita (figura 2)
Las funciones Z deben satisfacer las condiciones
de contorno del problema. Las condiciones
de contorno que han de cumplirse en la
punta de la grieta son:
para y = 0 y - a ≤ x ≤ a ; σ yy = σ xy = 0
Asumiendo que Z” adopte la siguiente
forma:
Z" = f (z)
/
z = ( a + a z + a z2
o i 2 + ...) /
(2.7)
Supongamos que en la ecuación anterior
se asume que a o , una constante, es como se
indica a continuación:
entonces, a partir de la ecuación (2.7)
Z" lim
lim Z″
z → 0
0
ao = KI
/
2π
z ao
= KI
/
2π
z
(2.8)
(2.9)