Corrigé des exercices - Dunod

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3. λ est valeur propre si et seulement si (2 − λ)(4 − λ) + 1 = 0 soit λ 2 − 6λ + 9 = 0. Les
solutions de cette équation sont
∆ = 36 − 36 = 0, λ = 6 2 = 3
La matrice possède une valeur propre 3.
Une équation de E 3 est
{
−x − y = 0
x + y = 0 ⇔ x = −y
D’où E −4 = Vect (−1,1).
4. λ est valeur propre si et seulement si (6 − λ)(3 − λ) + 2 = 0 soit λ 2 − 9λ + 20 = 0. Les
solutions de cette équation sont
∆ = 81 − 80 = 1, λ 1 = 9 − √ 1
2
= 4, λ 2 = 9 + √ 1
2
La matrice possède deux valeurs propres 4,5.
Une équation de E 4 est
{
2x + 2y = 0
−x − y = 0 ⇔ x = −y
D’où E 4 = Vect (−1,1)
Une équation de E 5 est
D’où E 5 = Vect (2,1)
{ x + 2y = 0
−x − 2y = 0 ⇔ x = 2y
5. λ est valeur propre si et seulement si (1 − λ)(−1 − λ) + 2 = 0 soit λ 2 + 1 = 0. La matrice
n’est donc pas réductible sur R. Sur C, les valeurs propres de la matrice sont i et −i.
Une équation de E i est
{
(1 − i)x + y = 0
⇔ y = (−1 + i)x
−2x − (1 − i)y = 0
= 5
D’où E i = Vect(1, −1 + i).
Une équation de E −i est
{
(1 + i)x + y = 0
−2x − (1 + i)y = 0
⇔ y = (−1 − i)x
D’où E −i = Vect(1, −1 − i).
6. On triangule A − λI
⎛
−λ 1 0
⎞ ⎛
⎝ 0 −λ 1 ⎠ → ⎝
1 0 −λ
1 0 −λ
0 −λ 1
−λ 1 0
⎞
⎠
L 1 ↔ L 3
⎛
→ ⎝
⎞
1 0 −λ
0 −λ 1 ⎠
0 1 −λ 2
L 3 ← L 3 + λL 1