Corrigé des exercices - Dunod

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D’où E 0 = Vect(−1,0,1).
Une équation de E 1 est A(1)X = 0 soit
{ { x + y = 0 x = −y
z = 0 ⇔ z = 0
D’où E 0 = Vect(−1,1,0).
Une équation de E 2 est A(2)X = 0 soit
{
x + y − z = 0
−y = 0 ⇔ {
x = z
y = 0
D’où E 2 = Vect(1,0,1).
8. On triangule A − λI
⎛
1 − λ 0 1
⎞ ⎛
1 1
⎞
3 − λ L 1 ↔ L 3
⎝ 0 1 − λ 0 ⎠ → ⎝ 0 1 − λ 0 ⎠
1 1 3 − λ 1 − λ 0 1
⎛
1 1 3 − λ
⎞
→ ⎝ 0 1 − λ 0 ⎠
0 λ − 1 −λ 2 + 4λ − 2 L 3 ← L 3 + (λ − 1)L 1
⎛
1 1 3 − λ
⎞
→ A(λ) = ⎝ 0 1 − λ 0 ⎠
0 0 −λ 2 + 4λ − 2 L 3 ← L 3 + L 2
λ est valeur propre si et seulement si (1 − λ)(λ 2 − 4λ + 2) = 0. 1 est valeur propre ainsi que
les racines de λ 2 − 4λ + 2 soit
∆ ′ = 4 − 2 = 2, λ 1 = 2 − √ 2, λ 2 = 2 + √ 2
A possède les trois valeurs propres 1,2 − √ 2,2 + √ 2.
Une équation de E 1 est A(1)X = 0 soit
{ {
x + y + 2z = 0 x = −y
−z = 0 ⇔ z = 0
D’où E 1 = Vect(−1,1,0).
Une équation de E 2−
√
2
est A(2 − √ 2)X = 0 soit
{ √ { √ x + y + (1 + 2)z = 0
( √ x = −(1 + 2)z
2 − 1)y = 0 ⇔ y = 0
D’où E 2−
√
2
= Vect(−1 − √ 2,0,1).
Une équation de E 2+
√
2
est A(2 + √ 2)X = 0 soit
D’où E 2+
√
2
= Vect( √ 2 − 1,0,1).
{ √ { √ x + y + (1 − 2)z = 0
(−1 − √ x = ( 2 − 1)z
2)y = 0 ⇔ y = 0