Corrigé des exercices - Dunod

62
Exercice 9.24
1. Par définition F est un sous-ensemble de R N . De plus F est non vide puisqu’il contient
la suite nulle.
Enfin soient (u n ) et (v n ) deux suites de F et λ,µ deux scalaires. Si l’on pose (w n ) = λ(u n )+µ(v n ),
on a pour tout n ∈ N, w 2n = λu 2n + µv 2n = λu 2n+1 + µv 2n+1 = w 2n+1 et donc w n ∈ F. F
est un sous-espace vectoriel de K N .
De même par définition G est un sous-ensemble de R N qui est non vide puisqu’il contient la
suite nulle.
Si l’on se donne (u n ) et (v n ) deux suites de G, λ,µ deux scalaires et si l’on pose
(w n ) = λ(u n ) + µ(v n ), on a pour tout n ∈ N, w 2n+1 = λu 2n+1 + µv 2n+1 = 0 et donc
w n ∈ G. G est un sous-espace vectoriel de K N .
2. Soit (u n ) une suite à valeurs dans K. Définissons la suite (v n ) par v 2n = v 2n+1 = u 2n+1
pour tout n ∈ N et la suite (w n ) par w 2n = u 2n − u 2n+1 et w 2n+1 = 0 pour tout n ∈ N.
Soit n ∈ N. Si n est pair avec n = 2p, alors v n + w n = u 2p+1 + u 2p − u 2p+1 = u 2p = u n .
Si n est impair, alors v n + w n = u n + 0 = u n . On en conclut donc que pour tout n ∈ N,
u n = v n + w n , c’est-à-dire que (u n ) = (v n ) + (w n ). Ceci prouve que K N = F + G.
Soit (u n ) une suite de F ∩ G. Comme (u n ) ∈ G, on sait que pour tout entier n, u 2n+1 = 0.
Et comme (u n ) ∈ F, on a alors pour tout entier n ∈ N, u 2n = u 2n+1 = 0. La suite (u n ) est
nulle. On a donc F ∩ G = {0}.
On en conclut que K N = F ⊕ G.
Chapitre 10
Exercice 10.1
1. Soient u,v deux vecteurs de R 3 avec u = (x 1 ,y 1 ,z 1 ) et v = (x 2 ,y 2 ,z 2 ) et λ,µ deux réels.
On a
f 1 (λu + µv) = f 1 ((λx 1 + µx 2 ,λy 1 + µy 2 ,λz 1 + µz 2 ))
et f 1 est donc linéaire.
= ((λx 1 + µx 2 ) − (λy 1 + µy 2 ) + (λz 1 + µz 2 ),λz 1 + µz 2 )
= (λ(x 1 − y 1 + z 1 ) + µ(x 2 − y 2 + z 3 ),λz 1 + µz 2 )
= λ(x 1 − y 1 + z 1 ,z 1 ) + µ(x 2 − y 2 + z 2 ,z 2 )
= λf 1 (u) + µf 1 (v)
2. Soient u,v deux vecteurs de R 3 avec u = (x 1 ,y 1 ,z 1 ) et v = (x 2 ,y 2 ,z 2 ) et λ,µ deux réels.
On a
et donc f 2 est linéaire.
f 2 (λu + µv) = f 2 ((λx 1 + µx 2 ,λy 1 + µy 2 ,λz 1 + µz 2 ))
= (0,5(λx 1 + µx 2 ) − 2(λy 1 + µy 2 ))
= (0,λ(5x 1 − 2y 1 ) + µ(5x 2 − 2y 2 ))
= λ(0,5x 1 − 2y 1 ) + µ(0,5x 2 − 2y 2 )
= λf 2 (u) + µf 2 (v)