Corrigé des exercices - Dunod

82
Exercice 12.2
1. Soient A,B ∈ E et λ,µ deux scalaires. Notons
( ) ( )
a b e f
A = , B =
c d g h
Par hypothèse on a donc a + c = b + d et e + g = f + h. Par ailleurs
( )
λa + µe λb + µf
λA + µB =
λc + µg λd + µh
or
λa + µe + λc + µg = λ(a + c) + µ(e + g) = λ(b + d) + µ(f + h) = λb + µf + λd + µd
autrement dit λA + µB ∈ E. E est un sous-espace vectoriel de M 2 (R).
( ) a b
2. Soit A = une matrice de M
c d
2 (R), A ∈ E si et seulement si a + c = b + d,
c’est-à-dire si et seulement si d = a + c − b. On en déduit que
{( ) a b ∣∣
E =
a,b,c ∈ R}
c a + c − b
(( ) ( ) ( ))
1 0 0 1 0 0
= Vect , ,
0 1 0 −1 1 1
(( ) ( ) ( ))
1 0 0 1 0 0
De plus la famille , , est libre puisque si a,b,c sont trois
0 1 0 −1 1 1
réels tels que
( 1 0
a
0 1
) ( 0 1
+ b
0 −1
alors ( a b
c a + c − b
) ( 0 0
+ c
1 1
)
= 0
et donc a = b = c = 0. C’est une base de E et dim(E) = 3.
Exercice 12.3
)
= 0
1. La matrice possédant deux colonnes identiques, elle n’est pas inversible.
2. On a
⎛
A 2 = ⎝
1 0 0
3 −1 −1
−3 2 2
⎞
⎛
⎠ , A 3 = ⎝
−5 2 2
−3 1 1
−9 4 4
3. On remarque que A 3 = A.
Montrons par récurrence sur n que pour tout n 1, A n = A si n est impair et A n = A 2 si
n est pair.
C’est vrai pour n = 1, puisque A 1 = A.
Supposons que la propriété soit vraie au rang n. Si n est pair alors A n+1 = A n A = A 2 A = A 3 = A.
Si n est impair alors A n+1 = A n A = A 2 . Dans tous les cas la propriété est vérifiée au rang
n + 1. La propriété est donc prouvée pour tout entier n 1.
Signalons enfin que A 0 = I.
⎞
⎠