Corrigé des exercices - Dunod

249
Exercice 22.19
( [ ]
1 1
1. Pour tout n ∈ N ∗ , la fonction x ↦−→ x α Ent est continue par morceaux sur
x)
n ,1 .
] 1
En effet, pour 1 k n − 1 sa restriction à
k + 1 , 1 [
est la fonction x ↦−→ kx α qui est
]
k
1
continue sur
k + 1 , 1 [
et prolongeable par continuité aux bornes. On a donc
k
n−1
∑
∫ 1
n−1
k ∑
[ ] 1
x
I α (n) = kx α α+1 k
dx = k = 1
n−1
∑
( )
k
1
α + 1 1 α + 1 k α+1 − k
(k + 1) α+1 .
k+1
n+1
k=1
k=1
k=1
On peut écrire
k
k α+1 − k
(k + 1) α+1 = 1
k α+1 + k − 1
k α+1 −
Quand on somme, des termes s’éliminent deux à deux et il reste
) (
I α (n) = 1 1
α + 1 k α+1 − n − 1
n α+1 = 1 ∑ n
α + 1
= 1
α + 1
( n−1 ∑
k=1
( n
∑
k=1
1
k α+1 − 1
n α )
.
2. Il résulte de la première question que, pour tout n ∈ N ∗ ,
k
(k + 1) α+1 .
k=1
1
k α+1 −
)
n
n α+1
I α (n + 1) − I α (n) =
∫ 1
n
1
n+1
nx α dx > 0,
est stric-
car on intègre une fonction continue et strictement positive. La suite (I α (n)) n∈N ∗
tement croissante.
D’autre part, en majorant Ent(x) par x on obtient, pour tout n ∈ N ∗ ,
∫ 1
[ ] x
I α (n) x α−1 α 1
dx 1
1 α 1 α .
n
n
La suite (I n ) n∈N ∗ est majorée ; elle converge.
Exercice 22.20
Considérons la fonction f définie sur R + par
( ∫ x
) (
f(x) = c + u(t)v(t)dt exp −
Comme u et v sont continues, f est dérivable sur R + et
( ∫ x
)
f ′ (x) = u(x)v(x)exp − v(t)dt
0
( ∫ x
) (
+ c + u(t)v(t)dt exp −
0
( ∫ x
)
= v(x) u(x) − c − u(t)v(t)dt exp
0
0
∫ x
0
∫ x
0
)
v(t)dt .
)
v(t)dt (−v(x))
(
−
∫ x
0
)
v(t)dt 0.