Corrigé des exercices - Dunod

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On en déduit que lim |f(x)| = lim |f(x)| = +∞.
x→+∞ x→−∞
On peut trouver en particulier A > 0 tel que |x| ≥ A implique |f(x)| 1. La fonction f est
continue. Comme elle ne s’annule pas sur les intervalles ] − ∞, −A] et [A,+∞[, elle y garde
un signe constant. On en déduit que f a pour limite −∞ ou +∞ en −∞ et en +∞.
Montrons que f ne peut pas avoir même limite en −∞ et en +∞. Supposons par exemple que
lim f = lim f = +∞. Pour tout réel A f(0), f prend sur [0,+∞[ des valeurs supérieure
−∞ +∞
à A, par définition de la limite, donc prend la valeur A par le théorème des valeurs intermédiaires.
Ainsi f([0,+∞[) contient [f(0),+∞[. On montre de même que f(] − ∞,0])
contient [f(0),+∞[. Toutes les valeurs de ]f(0),+∞[ sont prises deux fois par f, ce qui
contredit son injectivité.
On a donc lim f = −∞ et lim f = +∞ ou le contraire. Dans les deux cas, la fonction f
−∞ +∞
prend, pour tout A ∈ R, des valeurs supérieures à A et des valeurs inférieures à A, donc
elle prend la valeur A d’après le théorème de valeurs intermédiaires. Ainsi f(R) = R, f est
surjective et donc bijective de R sur R.
Exercice 19.19
Montrons pour commencer que, si f n’est pas strictement monotone, il existe (a,b,c) ∈ R 3
tel que
a < b < c et f(b) max(f(a),f(c) ou f(b) min(f(a),f(c).
On démontre la contraposée et on suppose donc que, pour tout (a,b,c) ∈ R 3 tel que
a < b < c, f(b) est entre f(a) et f(c).
Fixons deux éléments a et c de R vérifiant a < c. Supposons que f(a) < f(c).
• Considérons deux réels x et y tels que a < x < y < c.
Par hypothèse, f(x) est entre f(a) et f(c) et comme f(a) < f(c), on a f(a) < f(x) < f(c).
De même, f(y) est entre f(x) et f(c) et comme f(x) < f(c), on a f(a) < f(x) < f(y) < f(c).
Ceci montre que f est strictement croissante sur [a,c].
• Considérons maintenant deux réels u et v tels que a < c < u < v.
Par hypothèse, f(c) est entre f(a) et f(u) et comme f(a) < f(c), on a nécessairement
f(a) < f(c) < f(u). De même, f(u) est entre f(c) et f(v) et comme f(c) < f(u), on a
f(a) < f(c) < f(u) < f(v). Ceci montre que f est strictement croissante sur [c,+∞[. On
démontre de même que f est strictement croissante sur ] − ∞,a].
Ainsi, f est strictement croissante sur R.
Si f(a) > f(c), on considère −f qui vérifie la même propriété que f. On démontre que −f
est strictement croissante et donc f strictement décroissante.
Maintenant on suppose que f est continue et injective et on démontre qu’elle est strictement
monotone. On raisonne par l’absurde. D’après ce qui précède, il existe un triplet
(a,b,c) tel que f(b) ne soit pas entre f(a) et f(c). Supposons par exemple que f(a) < f(c).
Si f(b) < f(a) < f(c), le théorème des valeurs intermédiaires permet d’affirmer qu’il existe
a ′ ∈ ]b,c[ tel que f(a ′ ) = f(a). Comme a ′ ≠ a, cela contredit l’injectivité de f.
Si f(a) < f(c) < f(b), c’est la valeur f(c) qui est prise deux fois.
Le cas f(c) < f(a) se traite de la même manière. Dans tous les cas, on aboutit à une
contradiction et le résultat est démontré.