Corrigé des exercices - Dunod

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3.
• Si la frontière de Ω est incluse dans Ω et si M /∈ Ω, M n’appartient pas à Fr(Ω). Il existe
une boule ouverte de centre M dont l’intersection avec Ω ou son complémentaire est vide.
Comme l’intersection avec le complémentaire de Ω contient M, la boule ne rencontre pas
Ω. Elle est incluse dans son complémentaire, ce qui montre que celui-ci est ouvert et Ω
fermé.
• Si Ω est fermé et si M /∈ Ω, il existe une boule ouverte de centre M qui est incluse dans
le complémentaire de Ω. Elle ne rencontre pas Ω et M /∈ Fr(Ω). On a donc Fr(Ω) ⊂ Ω.
Exercice 26.13
1. Soit A et B dans
k⋂
Ω i . Pour tout i ∈ [[1,k]], A et B appartiennent à Ω i , donc le segment
i=1
[A,B] est inclus dans Ω i car Ω i est convexe. On a donc [A,B] ⊂
k⋂
Ω i et
i=1
k⋂
Ω i est convexe.
2. Si Ω 1 et Ω 2 sont des singletons distincts, ils sont convexes, mais leur réunion ne l’est pas.
Exercice 26.14
Soient A et B deux points de Ω + Ω ′ . Il existe C et D dans Ω et C ′ et D ′ dans Ω ′ tels que
A = C + C ′ et B = D + D ′ . Soit λ ∈ [0,1]. On a
(1 − λ)A + λB = (1 − λ)C + λD + (1 − λ)C ′ + λD ′ .
Comme Ω est convexe, (1 − λ)C + λD appartient à Ω ; de même, comme Ω ′ est convexe,
(1 − λ)C ′ + λD ′ appartient à Ω ′ et (1 − λ)A + λB appartient à Ω + Ω ′ . Ainsi, Ω + Ω ′ est
convexe.
Exercice 26.15
Soient A et B dans λΩ. Par définition, il existe C et D dans Ω tels que A = λC et B = λD.
Soit t ∈ [0,1]. On a alors
(1 − t)A + tB = (1 − t)λC + tλD = λ((1 − t)C + tD).
Comme Ω est convexe, (1 − t)C + tD appartient à Ω et (1 − t)A + tB appartient à λΩ, qui
est donc convexe.
Exercice 26.16
On raisonne par récurrence sur n.
La propriété est évidente pour n = 1, car alors λ 1 = 1.
Supposons que la propriété est vérifiée au rang n et considérons n + 1 points A 1 , . . . , A n+1
n+1
∑
de Ω et n + 1 réels positifs λ 1 , . .., λ n+1 tels que λ i = 1.
n+1
∑
Si λ n+1 = 1, alors λ i A i = A n+1 et il n’y a rien à démontrer. Sinon, on écrit
i=1
i=1
i=1
(
n+1
∑
n
)
∑ λ i
λ i A i = (1 − λ n+1 )
A i + λ n+1 A n+1 .
1 − λ n+1
i=1
i=1