Corrigé des exercices - Dunod

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Puisque g est décroissante sur ] − ∞,0[ et sur ]0,+∞[ et que lim g(x) = lim g(x) = 0,
x→−∞ x→+∞
g est négative sur ]−∞,0[ et positive sur ]0,+∞[. On en déduit que f ′ est toujours positive.
La fonction f est croissante sur R, car elle est de plus continue en 0.
Quand x tend vers −∞ ou +∞, 1 x
tend vers 0, donc
f(x) = x 2 ( 1
x − 1
3x 3 + o ( 1
x 3 ))
= x − 1
3x + o ( 1
x 2 )
.
La courbe possède une asymptote d’équation y = x; la courbe est au-dessus de l’asymptote
au voisinage de −∞ et au-dessous de l’asymptote au voisinage de +∞.
2. Soit h la fonction définie sur R ∗ par h(x) = xe 1 x .
On a
e X
lim h(x) = lim
x→0 + x→+∞ X = +∞,
par croissance comparée et
lim h(x) = 0.
x→0− La fonction h peut être prolongée en 0 en une fonction continue à gauche en posant h(0) = 0.
On a alors
h(x) − h(0)
lim
x→0 − x − 0
Ainsi est dérivable à gauche en 0 et f ′ g(0) = 0.
= lim
X→−∞ eX = 0.
Pour x ≠ 0,
h ′ (x) = e 1 x − 1
x
x .
La fonction h est donc croissante sur ] − ∞,0[ et [1,+∞[ et décroissante sur ]0,1].
Quand x tend vers −∞ ou +∞, 1 tend vers 0, donc
x
(
h(x) = x 1 + 1 x + 1 ( )) 1
2x 2 + o x 2 = x + 1 + 1 ( ) 1
2x + o .
2x
La courbe possède une asymptote d’équation y = x+1. Elle est au-dessus de cette asymptote
au voisinage de +∞ et au-dessous au voisinage de −∞.
Exercice 24.18
1. On met en facteur le terme prépondérant. Quand t tend vers −∞, on écrit
(
m(t) = a t 1 + ( )
b t
) 1
t
(
a 1 + b
) t
) 1
t
a
= a(
.
2
2
Quand t tend vers −∞,
1
t
tend vers 0, on obtient
lim
( t b
tend vers 0, car
a) b a > 1, 1 + ( )
b t
a
2
m(t) = a.
t→−∞
a pour limite 1 2
et comme