Corrigé des exercices - Dunod

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Exercice 8.4
La relation bien connue ( )
n n
i+1 =
n−1
∑
S =
i=0
(−1) i 1
i + 1
( n−1
)
i conduit à :
i + 1
( ) n−1
n − 1 ∑
= (−1) i 1 i
n
i=0
( ) n
= 1 n−1
∑
i + 1 n
i=0
(−1) i ( n
i + 1
Avec le changement d’indice j = i + 1, on obtient :
⎛
⎞
S = 1 n∑
( ) n
(−1) j−1 = − 1 n∑
( )
⎝ n
(−1) j − 1⎠ = 1 n j n j n .
j=1
j=0
)
.
Exercice 8.5
1. Le calcul donne
1
k + 1
sans difficulté.
2. En utilisant le résultat de la première question, on obtient :
C’est à dire :
n∑
∫ (
1 1 n
)
k = ∑
(1 − x) k−1 dx =
k=1
0
k=
∫ 1
0
1 − (1 − x) n
dx =
x
Par linéarité de l’intégration, on obtient
n∑ n
1
k = ∑
( )∫ n 1
(−1) k−1 x k−1 dx =
k
k=1
k=1
0
n∑
k=1
∫ 1
0
n
1
k = ∑
n∑
k=1
k=
n∑
(−1) k−1 1 ( n
k k)
k=1
∫ 1
0
(1 − x) k−1 dx.
( n
k)
(−x) k−1 dx
Exercice 8.6
Il suffit de développer par la formule du binôme la relation ((1 + 1) n ) 2 = (3 + 1) n .
Exercice 8.7
n−1
∑
(1 + x) k = (x + 1)n − 1
x + 1 − 1
k=0
Exercice 8.8
=
n∑
k=0
( n
k)
x k−1 .
1. Le coefficient de x n dans le polynôme x n−k (1 − x) n est égal au coefficient de x k dans
(1 − x) n , c’est à dire (−1) k( n
k)
. Donc le coefficient de x n dans le polynôme P(x) est égal à
m∑
( ) n
(−1) k .
k
k=0
2. On a
n−m
∑
P(x) = (1 − x) n
k=n
x k = (1 − x) n xn+1 − x n−m
x − 1
= x n−m (1 − x) n−1 − x n+1 (1 − x) n−1 .
= −(1 − x) n−1 (x n+1 − x n−m )