Corrigé des exercices - Dunod

413
par l’indépendance des variables aléatoires Y 1 et Y 2 ,
P(X 3 = k) =
=
=
+∞∑
i=1
P Y1=i(Y 2 = k − i − 1)P(Y 1 = i)
k−2
∑
P(Y 2 = k − i − 1)P(Y 1 = i)
i=1
k−2
∑
i=1
= 1 15
( ) k−i−2 ( ) i−1
1 2 1 4
3 3 5 5
( 2
3) k−3 k−2 ∑
i=1
( 6
5) i−1
( 2
3
) k−3
( 6
) k−2
5 − 1
= 1 15
1
5
) k−2 ( ) k−2 2
−
3)
= 1 2
( (4
5
3. a) [X n = n] est l’événement à chaque tirage on obtient une paire de boules portant le
⋂
même numéro. Donc [X n = n] = n [Y i = 1].
i=1
Par indépendance des événements, P(X n = n) = n ∏
i=1
1
2n−2i+1 = 2n n!
(2n)! .
b) L’événement [X n = n + 1] est l’événement à tous les tirages on obtient une paire de
boules portant le même numéro ( sauf à un tirage qui ) n’est pas le dernier tirage.
Donc (X n = n + 1) = n−1 ⋃
n⋂
(Y i = 2) (Y j = 1) .
i=1
j=1,j!i
Par incompatibilité et par indépendance des événements,
P(X n = n + 1) =
=
n−1
∑
P((Y i = 2)
i=1
n−1
∑
P(Y i = 2)
i=1
n⋂
j=1,j≠i
n∏
j=1,j!i
n−1
∑
= p 1 p 2 · · · p n−1 (1 − p i )
i=1
⎛
= 2n n−1
n! ∑
⎝n − 1 −
(2n)!
j=1
(
= 2n n!
(2n)!
n −
2n∑
k=1
n
1
k − ∑
= 2n n!
(2n)! (n − h 2n − h n )
(Y j = 1))
P(Y j = 1)
⎞
1
⎠
2j + 1
)
1
2k
k=1