Corrigé des exercices - Dunod

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Exercice 12.14
1. L’image par ϕ de la base (e 1 ,e 2 ,e 3 ,e 4 ) est la famille (e 2 ,e 3 ,e 4 ,e 1 ), c’est-à-dire une base
de R 4 . ϕ est donc un automorphisme.
2. On trouve
A =
⎛
⎜
⎝
0 0 0 1
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
3. Soit ψ ∈ L(R 4 ) défini par ψ(e i ) = e i−1 pour i ∈ [2,4] et ψ(e 1 ) = e 4 . On a alors pour
i ∈ [1,4], ϕ ◦ ψ(e i ) = ψ ◦ ϕ(e i ) = e i et donc ψ = ϕ −1 , d’où
⎛ ⎞
0 1 0 0
A −1 = ⎜ 0 0 1 0
⎟
⎝ 0 0 0 1 ⎠
1 0 0 0
Exercice 12.15
1. a) On vérifie facilement que c’est un endomorphisme (c’est d’ailleurs un exemple du
cours). De plus ϕ est clairement injective. En effet, si P ∈ R n [X] est tel que ϕ(P) = 0, alors
P(X +1) = 0. En particulier, pour tout réel x, on a P(x) = P(x −1+1) = 0 et donc P = 0.
L’application ϕ étant un endomorphisme injectif d’un espace de dimension finie, c’est un
automorphisme.
b) D’après la formule du binôme de Newton, on sait que pour p ∈ [0,n], on a
On en déduit que
M =
⎜
⎝
⎞
⎟
⎠
ϕ(X p ) = (X + 1) p
p∑
( p
= X
k)
k .
⎛
k=0
( 0
) ( 1
(
0 0)
... ... n
0)
) . ..
( n
1)
0
.
( 1
1
. .. . .. . ..
. ..
.
. .. . ..
( n
)
n−1 (
0 ... ... 0 n
n)
c) Il est clair que l’isomorphisme réciproque de ϕ est l’application ψ qui à tout polynôme P
associe le polynôme P(X − 1). On en déduit que
⎛ ( 0
0)
− ( )
1
0
... ... (−1) n( )
n ⎞
0
( 0 1 . ..
1) ( )
(−1)
n−1 n
1
M −1 =
. . .. . .. . ..
. ..
⎜
⎝
.
. .. . ..
(
−
n
) ⎟
⎠
( n−1
0 ... ... 0 n
n)
⎞
⎟
⎠