Corrigé des exercices - Dunod

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• Pour n = 0, la propriété devient u 0 = v 0 , qui équivaut bien entendu à v 0 = u 0 .
• Supposons n soit un entier tel que la propriété soit vraie pour tous les entiers strictement
n∑
( n
inférieurs à n, et que u n = v k .
k)
k=0
n−1
∑
On a alors : u n = v n +
k=0
( n
k)
v k .
Il en résulte, en utilisant l’hypothèse de récurrence, que
( n−1 ∑
( ) [ n
k∑
( ])
k
v n = u n −
(−1)
)u k−i k .
k
i
k=0 i=0
n−1
∑
( )( k n
Dans la parenthèse, soit α i le coefficient du terme u i . Alors α i = (−1) k−i .
i k)
k=i
( )( ( )( ) ( n−1
n k n n − i
n ∑
( ) n − i
Or (voir exercice 3) = . Donc α i =
k i)
i k − i
i)
k=i(−1) k−i , c’est
k − i
( n−i−1
n ∑
( ) n − i
à dire, après le changement d’indice j = k − i : α i = (−1)
i) j .
j
j=0
∑n−i
( ) n − i
Or, (−1) j = (1 − 1) n−i = 0. Donc α i = −(−1) n−i( n
j
i)
.
j=0
En reportant dans la relation ci-dessus, on obtient :
n−1
∑
v n = u n +
k=0
(−1) n−i ( n
i
)
u i =
n∑
( ) n
(−1) n−i u i .
i
La propriété étudiée est donc héréditaire, et l’on peut conclure grâce au principe de
récurrence.
Exercice 8.12
Si l’on note n le nombre cherché, on a : 26 = 10 + 16 + 22 − 8 − 4 − 12 + n. On conclut que
n = 2
Exercice 8.13
Le résultat est ( )(
4 27
1 10)
= 33745140 (à moins que l’on considère que tout joueur peut jouer gardien
de but, ce qui n’est pas précisé par l’énoncé. On aurait alors ( )(
4 27
) (
1 10 + 27
11)
= 41471300,
mais cette interprétation est peu vraisemblable)
Exercice 8.14
1. ( )
32
8 = 5852925
2. ( 8
4
)( 24
3. ( 1
0)( 3
3)( 7
4
4
)
= 35 × 8855 = 309925
)( 21
1
)
+
( 1
1)( 3
2)( 7
3
)( 21
2
)
= 18690
k=0