Corrigé des exercices - Dunod

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3. On applique les résultats de la question précédente aux séries de terme général
u n (x) = u n x n et v n (x) = v n x n . La suite w correspondante est définie par
n∑
n∑
w n (x) = u k (x)v n−k (x) = u k v n−k x n = w n x n .
k=0
D’après la question 2, la série ∑ w n x n converge et a pour somme U(x)V (x).
Exercice 25.26
1. En posant A −1 = 0, on a, pour tout entier naturel n, a n = A n − A n−1 . On en déduit,
grâce à un changement d’indice dans la deuxième somme,
n∑
a k b k =
k=0
n∑
(A k − A k−1 )b k =
k=0
k=0
n∑
A k b k −
k=0
n−1
∑
= A k (b k − b k+1 ) + A n b n .
k=0
n−1
∑
k=−1
A k b k+1
2. La suite (b n ) n∈N est donc à termes positifs. On note M un majorant de (|A n |) n∈N . On
alors
n−1
∑
n−1
∑
n−1
∑
|A k (b k − b k+1 )| = |A k |(b k − b k+1 ) M (b k − b k+1 )
k=0
k=0
M(b 0 − b n ) Mb 0 .
La série à terme positifs ∑ |A n (b n − b n+1 )| a ses sommes partielles majorées. Elle est donc
convergente. La série ∑ A n (b n −b n+1 ) est donc absolument convergente. On en déduit que
n−1
∑
A k (b k − b k+1 ) a une limite finie quand n tend vers +∞. Comme par ailleurs la suite
k=0
(A n b n ) a pour limite 0,
général a n b n converge.
n∑
a k b k a une limite finie quand n tend vers +∞ et la série de terme
k=0
3. On pose a n = sin n et b n = 1
n α . La suite (b n) n∈N est décroissante et converge vers 0. Pour
montrer la convergence la série de terme général u n = a n b n , il suffit de montrer que la suite
(A n ) n∈N est bornée. Pour n 1, on a
(
n∑
n
) (
∑ ∑ n
A n = sink = I e ik (
= I e
i ) )
k
= I 1 − ei(n+1)
1 − e i .
k=0
k=0
k=0
Comme, pour tout nombre complexe z, |Iz| |z|, on en déduit
∣ |A n |
1 − e i(n+1) ∣∣∣ 2
∣ 1 − e i
|1 − e i | .
La suite (A n ) n∈N est bornée et donc ∑ sin n
n α
converge.
k=0