Corrigé des exercices - Dunod

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x 1
1
1
. On a donc inf A et finalement supB =
supB supB inf A .
L’ensemble B est minoré par 0. Si A est majorée, on montre comme précédemment que
inf B = 1
supA . Si A n’est pas majoré, pour tout ε > 0, il existe x ∈ A tel que x 1 ε . on a
donc 1 ε. Ceci montre que inf B = 0.
x
Exercice 15.37
Soit b ∈ B. On a, pour tout a ∈ A, a b, donc b majore A. Ainsi A possède une borne
supérieure et supA b. Comme ceci est vrai pour tout b ∈ B, l’ensemble B est minoré par
supA. Il possède donc une borne inférieure et supA inf B.
Exercice 15.38
Soit (x,y) ∈ A 2 . Supposons que x y. On a x sup A et y inf A. On en déduit que
|x − y| = x − y supA − inf A.
On a le même résultat si y x. Ainsi, B est majoré et sup B supA − inf A.
De même, pour tout (x,y) ∈ A 2 , on a x − y |x − y| supB et donc x y + supB. On
en déduit supA y + supB et y supA−supB, puis inf A supA−supB et finalement
supB = supA − inf A.
Exercice 15.39
Si α est la borne supérieure de A, α est un majorant de A et pour tout n ∈ N, il existe
x n ∈ A tel que α− 1 n < x n α. La suite (x n ) n∈N est une suite d’éléments de A qui converge
vers α.
Si réciproquement α est un majorant de A et (x n ) n∈N une suite d’éléments de A qui converge
vers α, pour tout ε > 0, il existe n ∈ N tel que |x n − α| < ε et donc x n > α − ε. Comme
x n ∈ A, ceci montre que α est la borne supérieure de A.
Exercice 15.40
1. L’ensemble A est non vide car il contient a (f(a) ∈ [a,b]) et est majoré par b. Il possède
donc une borne supérieure α qui appartient à [a,b].
2. Pour tout x ∈ A, on x α et donc f(x) f(α) car f est croissante. Comme x ∈ A, on
a x f(x) et on en déduit x f(α). Ainsi f(α) est un majorant de A et donc α f(α).
Puisque f est croissante, on en déduit que f(α) f(f(α)). Ceci montre que f(α) ∈ A. On
en déduit que f(α) α et finalement f(α) = α.
Exercice 15.41
Pour tout (x,y) ∈ R 2 , on a
Ent(x) x < Ent(x) + 1 et Ent(y) y < Ent(y) + 1.
On en déduit, en additionnant, que
Ent(x) + Ent(y) x + y < Ent(x) + Ent(y) + 2.