Corrigé des exercices - Dunod

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Exercice 30.31
1. L’événement [X N > n] est l’événement «les résultats obtenus forment une suite strictement
croissante d’au moins n termes de [[1,N]]».
Donc P(X N > n) = 0 pour tout entier n N + 1.
Et si n N, P(X N > n) = (N n)
N n .
2. X N (Ω) = [1,N + 1]. Donc X N admet une espérance.
E(X N ) = N+1 ∑
kP(X N = k).
k=1
Or P(X N = k) = P(X N > k − 1) − P(X N > k).
E(X N ) =
=
=
N+1
∑
k=1
N+1
∑
k=1
k(P(X N > k − 1) − P(X N > k))
N+1
∑
kP(X N > k − 1) −
N∑
(k + 1)P(X N > k) −
k=0
= 1 +
= 1 +
=
k=1
N+1
∑
k=1
kP(X N > k)
kP(X N > k)
N∑
P(X N > k) − (N + 1)P(X N > N + 1)
k=1
( N∑ n
k)
N k
k=1
) N
(
1 + 1 N
3. ( )
1 + 1 N
N = e
N ln(1+ 1 N ) .
Or ln(1 + 1 N )
Donc
∼
N→+∞
1
N .
lim E(X N) = e.
N→+∞
Chapitre 31
Exercice 31.1
1. S(Ω) = [2,+∞[.
D’après la formule des probabilités totales avec le système complet d’événements (X = i) i∈N ∗,
∀k 2, P(S = k) =
+∞∑
i=1
P(S = k,X = i).