Corrigé des exercices - Dunod

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En évaluant cette égalité de polynômes en 0 et en tenant compte du fait que P k (0) = 0 pour
k 1, on trouve que ∆ i (P)(0) = a i . On en déduit que
n∑
P = (∆ k )(P)(0)P k
b) On a
k=0
∆(X 4 ) = (X + 1) 4 − X 4 = 4X 3 + 6X 2 + 4X + 1
∆ 2 (X 4 ) = 4(X + 1) 3 + 6(X + 1) 2 + 4(X + 1) + 1 − 4X 3 − 6X 2 − 4X − 1
= 12X 2 + 24X + 14
∆ 3 (X 4 ) = 12(X + 1) 2 + 24(X + 1) + 14 − 12X 2 − 24X − 14
= 24X + 36
∆ 4 (X 4 ) = 24(X + 1) + 26 − 24X − 26
= 24
A l’aide de la question précédente on en déduit que
X 4 = 24P 4 + 36P 3 + 14P 2 + 1P 1
4. a) Soit Q ∈ K n−1 [X], d’après la question 2.c il existe un polynôme P 0 ∈ K n [X] tel que
∆(P 0 ) = Q. En posant P = P 0 − P 0 (0), on a alors ∆(P) = ∆(P 0 ) − ∆(P 0 (0)) = Q − 0 = Q
et P(0) = P 0 (0) − P 0 (0) = 0.
De plus si P 1 et P 2 sont deux polynômes qui répondent à la question alors
∆(P 1 − P 2 ) = ∆(P 1 ) − ∆(P 2 ) = 0.
On a donc P 1 − P 2 ∈ Ker(∆), c’est-à-dire que P 1 − P 2 est constant. Mais en 0, ce polynôme
vaut P 1 (0) − P 2 (0) = 0. On a donc P 1 = P 2 . Le polynôme P est unique.
b) On a
n−1
∑
P = (∆ k )(Q)(0)P k+1
k=0
c) D’après les questions précédentes, on a
d) On en déduit que
p∑ p∑
k 4 = P(k + 1) − P(k)
k=0
k=0
= P(p + 1) − P(0)
P = 24P 5 + 36P 4 + 14P 3 + 1P 2
= 1 5 (p + 1)p(p − 1)(p − 2)(p − 3) + 3 2 (p + 1)p(p − 1)(p − 2) + 7 3 (p + 1)p(p − 1) + 1 (p + 1)p
2
=
=
(p + 1)p
(6(p − 1)(p − 2)(p − 3) + 45(p − 1)(p − 2) + 70(p − 1) + 15)
30
(p + 1)p (
6p 3 + 9p 2 + p − 1 )
30