Corrigé des exercices - Dunod

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Comme la série de terme général k(1 −p) k−1 converge absolument, Y admet une espérance.
E(Y ) =
+∞∑
k=M
kP(Z = k)
= M − M(1 − p) M +
+∞∑
k=M+1
kp(1 − p) k−1
= M − M(1 − p) M + (M + 1)(1 − p)M − M(1 − p) M+1
p
(1 − p)M
= M +
p
Exercice 31.10
1. X 1 , X 2 , X 3 sont des variables aléatoires réelles indépendantes qui suivent une loi uniforme
sur [1,n].
En utilisant le système complet d’événements (X 3 = k) k∈[1,n] ,
P(X 3 = X 1 + X 2 ) =
n∑
P(X 1 + X 2 = k,X 3 = k) =
k=1
n∑
P(X 1 + X 2 = k)P(X 3 = k)
k=1
En utilisant le système complet d’événements (X 2 = i) i∈[1,n] ,
2. (X,Y,Z)(Ω) =
P(X 3 = X 1 + X 2 ) =
Soit (i,j,k) ∈ (X,Y,Z)(Ω).
Si i = j = k, alors
=
=
n∑
n∑
P(X 3 = k) P(X 1 + X 2 = k,X 2 = i)
k=1
k=1
i=1
n∑
n∑
P(X 3 = k) P(X 1 = k − i)P(X 2 = i)
k=2
i=1
n−1
∑
k−1
∑
P(X 3 = k) P(X 1 = k − i)P(X 2 = i)
= 1 ∑ n
n 3 k − 1
k=1
= n − 1
2n 2
{
}
(i,j,k) ∈ [1,n] 3 , i j k .
i=1
P((X,Y,Z) = (i,j,k)) = P(X 1 = i,X 2 = i,X 3 = i) = 1 n 3 .