Corrigé des exercices - Dunod

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Exercice 25.5
Le reste R n est défini quand la série ∑ 1
converge, c’est-à-dire pour α > 1.
nα 1. La fonction t ↦−→ 1
t α est décroissante sur ]0,+∞[. On en déduit que 1
(k + 1) α 1
t α 1
k α ,
pour tout entier k 1 et t ∈ [k,k+1]. En intégrant ces inégalités entre k et k+1, on obtient
∫
1 k+1
(k + 1) α 1
t α dt 1
k α .
k
2. Soit m et n deux entiers tels que 2 m n.
En sommant les inégalités de gauche de la question précédente pour k variant de m − 1 à
n − 1, on obtient, en appliquant la relation de Chasles
n−1
∑
k=m−1
∫
1 n
(k + 1) α
m−1
n
1
t α dt, c’est-à-dire ∑
k=m
∫
1 n
k α
En sommant les inégalités de droite pour k variant de m à n, on obtient
ce qui donne l’encadrement voulu.
∫ n+1
m
n
1
t α dt ∑
∫ b
k=m
1
k α ,
m−1
1
t α dt.
1
3. Pour a et b strictement positifs, on a
a t α dt = b1−α − a 1−α
.
1 − α
• Si α < 1, on prend m = 2 dans l’inégalité précédente. En ajoutant 1, on obtient
1 +
∫ n+1
2
1
t α dt S n 1 +
∫ n
1
1
t α dt.
Comme 1 − α > 0, n 1−α a pour limite +∞ quand n tend vers +∞. On en déduit que
1 +
∫ n
1
∫
1
n+1
t α ∼ n1−α
1 − α et 1 + 1 (n + 1)1−α
∼ ∼ n1−α
tα 1 − α 1 − α .
1
Les inégalités
∫
1 − α n+1
1
n 1−α 2 t α dt (1 − α)S n
n 1−α 1 − α ∫ n
1
n 1−α 1 t α dt
( ) (1 − α)Sn
montrent que la suite
n 1−α est encadrée par deux suites ayant pour limite 1. Elle
converge donc vers 1 et
n 1−α
S n ∼
n→+∞ 1 − α .
• Si α > 1, n 1−α a pour limite 0 quand n tend vers +∞. En faisant tendre n vers
+∞ dans les inégalités précédentes, on obtient
−m 1−α
1 − α R −(m − 1)1−α
m
1 − α
et donc 1 (α − 1)R m
m 1−α
( ) 1−α m − 1
.
m