Corrigé des exercices - Dunod

408
b) Comme (X 1 = i) 1iN est un système complet d’événements, pour tout entier j de
[1,N ], par la formule des probabilités totales,
P(X 2 = j) =
3. a) Procèdons par double inclusion.
n⋂
[X k = 1] ⊂ [X n = 1].
k=1
N∑
P X1=i(X 2 = j)P(X 1 = i)
i=1
= j N
= 2j − 1
N 2
j−1
1
N + ∑ 1
N 2
Inversement si [X n = 1] est réalisé, alors la boule numéro 1 n’est pas enlevée lors des
précédents tirages, donc lors des précednets tirages la boule 1 est retirée et donc remise dans
i=1
l’urne comme l’indique le protocole. Donc [X n = 1] ⊂
Ainsi
n⋂
[X k = 1] = [X n = 1].
k=1
b) D’après la formule des probabilités composées
n ⋂
k=1
[X k = 1].
P(X n = 1) = P(X 1 = 1)P X1=1(X 2 = 1) · · · P (X1=1,X 2=1,··· ,X n−1=1)(X n = 1)
= 1 1
N N · · · 1
N
1
=
N n
4. a) D’après la formule des probabilités totales avec le système complet d’événements
(X n = k) 1kN ,
P(X n+1 = N) =
N∑
P(X n = k)P Xn=k(X n+1 = N)
k=1
N−1
∑
= P(X n = N) + P(X n = k)P Xn=k(X n+1 = N)
k=1
N−1
∑
= P(X n = N) + P(X n = k) 1 N
k=1
= P(X n = N) + 1 N (1 − P(X n = N))
= N − 1
N
P(X n = N) + 1 N
b) La suite (P(X n = N)) n∈N ∗ est une suite arithméticogéométrique de limite événtuelle le
réel l tel que l = N − 1
N l + 1 N
c’est-à-dire l = 1.