Corrigé des exercices - Dunod

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4. Supposons que f tend vers +∞ en +∞. Soit A > 0 et B > 0 tel que f(x) A pour
x B. On écrit, pour x B,
Comme
F(x) = 1 x
1 x
∫ B
0
∫ B
il existe B 1 > 0 tel que 1 x
x max(B,B 1 ),
0
f(t)dt + 1 x
∫ x
B
f(t)dt + A x − B
x .
1
lim
x→+∞ x
∫ B
0
∫ B
0
f(t)dt 1 x
∫ B
0
f(t)dt + A x − B
x
f(t)dt + A x − B
x
F(x) A 2 .
f(t)dt + 1 x
= A,
Comme A est un réel strictement positif quelconque, ceci montre que
lim F(x) = +∞.
x→+∞
5. Prenons f = sin. Alors f n’ a pas de limite en +∞ et pour x > 0,
F(x) = 1 x
∫ x
0
∫ x
B
Adt
A 2 pour x B 1. On a alors, pour
sintdt = 1 (1 − cos x)
x
et donc |F(x)| 2 x . On en déduit que lim F(x) = 0.
x→+∞
( x
)
6. Supposons que f est T-périodique. Soit x > 0, n = Ent . On obtient par la relation
T
de Chasles
F(x) = 1 x
n−1 ∫ (k+1)T
∑
k=0
Puisque la fonction f est T-périodique,
kT
∫ (k+1)T
kT
f(t)dt + 1 x
∫ x
nT
f(t)dt est égal à
proposition 14 du chapitre primitives et intégrales). On a donc
F(x) = n x
∫ T
0
f(t)dt + 1 x
∫ x
kT
f(t).
On sait qu’au voisinage de +∞, on Ent(x) ∼ x. On a donc
comme nT x < (n + 1)T, on a
∫ x
∫ x
∣ f(t)dt
∣ |f(t)|dt
nT
nT
∫ (n+1)T
nT
|f(t)|dt
f(t)dt.
∫ T
0
f(t)dt pour tout k (cf
n
lim
x→+∞ x = 1 . Par ailleurs,
T
∫ T
0
|f(t)|dt.