Corrigé des exercices - Dunod

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Exercice 31.2
1. Pour tout entier i, P(X = i) = +∞ ∑
P(X = i,Y = j).
P(X = i) =
j=0
+∞∑
j=0
c i + j
3 i+j i!j!
1
= c
3 i (i − 1)!
= ce 1 3
3i + 1
3 i+1 i!
+∞∑
j=0
1
j!3 j + c 1
+∞∑ 1
3 i i! (j − 1)!3 j
j=1
Et par symétrie de l’expression, Y a la même loi que X.
P(X = 0,Y = 0) = 0 et P(X = 0) = P(Y = 0) ≠ 0 donc X et Y ne sont pas des variables
aléatoires indépendantes.
2. Comme X est une variable aléatoire à valeurs dans N,
+∞∑
i=0
P(X = i) = 1.
+∞∑
i=0
+∞∑
P(X = i) = ce 1 3i + 1
3
3 i+1 i!
i=0
( )
= ce 1 1
3
3 e 1 1
3 +
3 e 1 3
= c 2 3 e 2 3
Donc c = 3 2 e− 2 3 .
3. Par définition de la probabilité conditionnelle, pour tout couple (k,n) d’entiers,
P X=n (Y = k) =
P(X=n,Y =k)
P(X=n)
.
Ainsi pour tout entier n et pour tout entier k P X=n (Y = k) =
4. (Y/X = 0) − 1 suit une loi exponentielle de paramètre 1 3 .
Exercice 31.3
k+n
3 k−1 (3n+1)k! e− 1 3 .
1. X suit une loi binomiale de paramètre ( n + 1, 1 2)
et Y suit une loi binomiale de paramètre
(n, 1 2 ).
2. (X − Y )(Ω) = [ − n,n + 1].
Avec le système complet d’événements (Y = i) i∈[0,n] ,
pour tout entier k de [ − n,n + 1], P(X − Y = k) =
n∑
P(X = k + i,Y = i).
i=0