Corrigé des exercices - Dunod

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Exercice 27.13
La fonction f est à valeurs dans R + . Elle est donc minorée et possède une borne inférieure.
Posons
α = inf f(x,y).
(x,y)∈R 2
Puisque lim f(x,y) = +∞, il existe R > 0 tel que f(x,y) α + 1 si ‖(x,y)‖ R.
‖(x,y)‖→+∞
Notons B la boule fermée de centre (0,0) et de rayon R. Cette boule est un fermé borné. La
restriction de f à B, qui est continue, atteint donc sa borne inférieure sur B.
Notons β cette borne inférieure. On a nécessairement β α car α minore f sur B. Comme
f est minorée par α+1 sur le complémentaire de B, le réel min(β,α+1) est un minorant de
f. Si β > α, il est plus grand que α. C’est impossible. On a donc β = α. La borne inférieure
de f sur R 2 est donc atteinte, en un point de B.
Exercice 27.14
Supposons que f est convexe et fixons (X,Y ) ∈ D 2 . Soient t, t ′ et λ trois éléments de [0,1].
On a
f X,Y (λt + (1 − λ)t ′ ) = f((λt + (1 − λ)t ′ )X + (1 − (λt + (1 − λ)t ′ ))Y ).
En remarquant que 1 − (λt + (1 − λ)t ′ ) = λ(1 − t) + (1 − λ)(1 − t ′ ), on obtient
f X,Y (λt + (1 − λ)t ′ ) = f(λ(tX + (1 − t)Y ) + (1 − λ)(t ′ X + (1 − t ′ )Y ))
et donc, en utilisant la convexité de f,
f X,Y (λt + (1 − λ)t ′ ) λf(tX + (1 − t)Y )) + (1 − λ)f(t ′ X + (1 − t ′ )Y )
ce qui montre que f X,Y est convexe sur [0,1].
λf X,Y (t) + (1 − λ)f X,Y (t ′ ),
Supposons réciproquement que f X,Y est convexe sur [0,1] pour tout (X,Y ) ∈ D 2 . Soit
(X,Y ) ∈ D 2 et t ∈ [0,1]. De la convexité de f X,Y , on déduit
c’est-à-dire
f X,Y (t) = f X,Y (t · 1 + (1 − t) · 0) tf X,Y (1) + (1 − t)f X,Y (0),
f(tX + (1 − t)Y ) tf(X) + (1 − t)f(Y ).
Comme cela est vérifié pour tout (X,Y ) ∈ D 2 et tout t ∈ [0,1], la fonction f est convexe.
Chapitre 28
Exercice 28.1
1. Soit g : (x,y) ↦−→ f(y,x). En revenant à la définition, on obtient
∂g
∂x
(x,y) =
∂f
∂y
∂g ∂f
(y,x) et (x,y) =
∂y ∂x (y,x).