Corrigé des exercices - Dunod

391
Soit n un entier non nul.
P(Z = 0) = P(X Y )
=
=
+∞∑
n=0
+∞∑
n=0
= 1 − α
P(X n)P(Y = n)
(1 − (1 − a) n )P(Y = n)
P(Z = n) = P(X − Y = n)
=
=
+∞∑
k=0
+∞∑
k=0
= a(1 − a) n α
P(X = k + n)P(Y = k)
a(1 − a) n+k P(Y = k)
Exercice 31.9
Z(Ω) = [1,M ]. Pour tout entier k de [1,M − 1],
P(Z = k) = P(inf(X,M) = k) = P(X = k) = p(1 − p) k−1
P(Z = M) = P(inf(X,M) = M) = P(X M,M = M) = P(X M) = (1 − p) M−1 .
Comme Z est une variable aléatoire réelle finie, Z admet une espérance.
E(Z) =
=
M∑
kP(Z = k)
k=1
M−1
∑
k=1
kp(1 − p) k−1 + M(1 − p) M−1
= 1 + (M − 1)(1 − p)M − M(1 − p) M−1
p
1 − (1 − p)M
=
p
+ M(1 − p) M−1
Y (Ω) = [M,+∞[.
Pour tout entier k de [M+1,+∞[, P(Y = k) = P(sup(X,M) = k) = P(X = k) = p(1−p) k−1 .
P(Y = M) = P(sup(X,M) = M) = P(X M) = 1 − (1 − p) M .