Corrigé des exercices - Dunod

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b)
P(X < Y ) =
=
=
+∞∑
+∞∑
i=1 j=i+1
+∞∑
+∞∑
i=1 j=i+1
+∞∑
i=1
9
50
P(X = i,Y = j)
( ) i−1 ( ) j−i−1
9 1 7
50 10 10
( 1
10) i−1 ( 10
3
)
= 2 3
c) D(Ω) = N ∗ . Pour tout entier k non nul,
P(D = k) = P(X − Y = k) + P(Y − X = k)
=
=
= 1 5
+∞∑
i=1
+∞∑
i=1
P(X = k + i,Y = i) +
( i−1 ( ) k−1
9 1 2
+
50 10)
5
( ( ) k−1 ( ) k−1 7 2
+
10 5)
+∞∑
i=1
+∞∑
i=1
P(Y = k + i,X = i)
( ) i−1 ( ) k−1
9 1 7
50 10 10
Comme les séries de terme général k ( 7 k−1 (
10)
et k
2 k−1
5)
convergent, alors D admet une
espérance. (
E(D) = 1 100
5 9 + ) 25
9 =
25
9 .
4. a) Z est la variable aléatoire égale au numéro du tirage pour lequel on obtient pour la
première fois soit deux boules de couleurs différentes, soit deux boules blanches.
Donc Z suit une loi géométrique de paramètre 9 10 .
b) min(X,Y ) = 1 2
(X + Y − |X − Y |). Donc D = X + Y − 2Z.
Comme X, Y et Z admettent une espérance, D admet une espérance.
E(D) = E(X) + E(Y ) − 2E(Z) = 25
9 .
Exercice 31.31
1. X 1 suit une loi uniforme sur [1,N ].
2. a) Si X 1 = i est réalisé, alors l’urne contient i boules portant le numéro i et N − i boules
portant les numéros de i ⎧+ 1 à N.
0 si j < i
⎪⎨ i
Donc P X1=i(X 2 = j) =
N
si j = i .
⎪⎩
1
N si j > i