Corrigé des exercices - Dunod

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On obtient en sommant des relations de ce type, les termes s’éliminant deux à deux,
n−1
∑
(−2) n (
b n = b 0 + (−2) k+1 b k+1 − (−2) k )
b k
k=0
= − 1 8 − 1 8
n−1
∑
(
− 1 ) k+1
= − 1 2 8
k=0
) n+1
= − 1 1 − ( − 1 2
8 1 + 1 2
= − 1 12 + 1
12
n∑
k=0
(
− 1 ) k
2
(
− 1 2) n+1
.
On en déduit que
b n = − 1 12
(
− 1 ) n
+ 1 (
− 1 2n+1
.
2 12 2)
Exercice 24.14
1. On factorise par les termes en x 2 puis on fait un développement limité d’ordre 2. On
obtient
) (√ )
f(x) = |x|
(√1 + 1 x + 1 x 2 + 2|x| 1 − 3
4x + 1
2x 2
(
= |x|
= |x|
1 + 1
2x + 1
2x 2 − 1 ( )) 1
8x 2 + o x 2 + 2|x|
(
3 − 1
4x + 47 ( )) 1
64x 2 + o x 2 .
Au voisinage de +∞, on a
f(x) = 3x − 1 4 + 47 ( ) 1
64x + o .
x
(
1 − 3
8x + 1
4x 2 − 9
128x 2 + o ( 1
x 2 ))
La courbe possède une asymptote d’équation y = 3x− 1 et est au-dessus de cette asymptote
4
au voisinage de +∞. De même, au voisinage de −∞, on a
f(x) = −3x + 1 4 − 47 ( ) 1
64x − o .
x
La courbe possède une asymptote d’équation y = −3x+ 1 et est au-dessus de cette asymptote
4
au voisinage de −∞.
2. On a, pour x ≠ 0,
f(x) = 3√ x 3 − 3x 2 + x − 3 = x 3 √1 − 3 x + 1 x 2 − 3 x 3 .
On utilise le développement limité de x ↦−→ (1 + x) 1 3 au voisinage de 0 :
(1 + x) 1 3 = 1 +
1
3 x − 1 9 x2 + o(x 2 ).