Corrigé des exercices - Dunod

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Exercice 10.13
1. Montrons d’abord que F ∩ G = {0}. Soit u un vecteur de F ∩ G. Comme u ∈ G, il existe
un réel λ tel que u = λ(1,1,1) = (λ,λ,λ). Mais comme u ∈ F, il vient λ − λ + λ = 0, soit
λ = 0, et donc u = 0.
Montrons ensuite que R 3 = F + G. Soit u ∈ R 3 avec u = (x,y,z). Recherchons un réel λ tel
que u − λ(1,1,1) ∈ F. Comme u − λ(1,1,1) = (x − λ,y − λ,z − λ), il suffit que λ vérifie
l’équation
(x − λ) − (y − λ) + (z − λ) = 0
soit λ = x − y + z. λ ainsi posé, on a
u = x − λ(1,1,1) +λ(1,1,1)
} {{ } } {{ }
∈F
∈G
et donc R 3 = F + G. F et G sont des espaces supplémentaires.
2. D’après la question précédente la projection de (x,y,z) sur F parallèlement à G est
(x,y,z) − (x − y + z)(1,1,1) = (y − z, −x + 2y − z, −x + y)
Exercice 10.14
Montrons d’abord que v (Im(u)) ⊂ Im(u). Soit x ∈ v (Im(u)). Par définition il existe un
vecteur y ∈ E tel que x = v(u(y)). On a alors x = (v ◦ u)(y) = (u ◦ v)(y) = u(v(y)) et donc
x ∈ Im(u).
Montrons maintenant que v (Ker(u)) ⊂ Ker(u). Soit x ∈ v (Ker(u)). Par définition il existe
un vecteur y ∈ Ker(u) tel que x = v(y). On a alors
et donc x ∈ Ker(u).
u(x) = u(v(y)) = (u ◦ v)(y) = (v ◦ u)(y) = v(u(y)) = v(0) = 0
Exercice 10.15
Supposons que Ker(p) = Ker(q). Comme q est un projecteur, on sait que E = Ker(q)⊕Im(q).
Soit x ∈ E. Il existe y ∈ Ker(q) et z ∈ Im(q) tels que x = y + z. On a alors
p(x) = p(y + z) = p(y) + p(z). Or y ∈ Ker(q) = Ker(p), donc p(x) = p(z). D’autre
part p(q(x)) = p(q(y + z)) = p(z), puisque q est aussi la projection sur Im(q) parallèlement
à Ker(q). Autrement dit p(x) = (p ◦ q)(x), et donc p = p ◦ q. p et q jouant des rôles
symétriques, on montrerait de même que q = q ◦ p.
Réciproquement supposons que p = p◦q et q = q◦p. Soit x ∈ Ker(p), on a q(x) = q(p(x)) = q(0) = 0
et donc x ∈ Ker(q). De même si x ∈ Ker(q), alors p(x) = p(q(x)) = p(0) = 0 et donc
x ∈ Ker(p). On en déduit que Ker(p) = Ker(q).
Exercice 10.16
1. Supposons que p ◦ q = q ◦ p = 0, on a alors
(p + q) 2 = p 2 + p ◦ q + q ◦ p + q 2 = p + q