Corrigé des exercices - Dunod

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On en déduit que
u n ∼ − e− 1 2
12n .
La suite est à termes négatifs pour n assez grand. Comme la série de terme général 1 n diverge,
il en est de même de la série de terme général u n .
6. Si 0 < x < y, on a
u n ∼ (xy)n
y n
∼ x n
et la série de terme général u n converge si et seulement si x < 1. On traite de la même façon
le cas 0 < y < x. Enfin, si x = y, u n = 1 2
7. On a, pour n 2,
pour tout n et la série diverge trivialement.
u n = exp (−ln nln(lnn)) =
n
Pour n e e2 , on lnn e 2 , ln(lnn) 2 et donc
u n 1 n 2 .
1
ln(ln n)
.
D’après le théorème de comparaison, la série de terme général u n converge.
Exercice 25.2
1. On vérifie que, pour tout n 1,
u n = 1
3n − 1
2(n + 1) + 1
6(n + 3) .
On simplifie l’expression des sommes partielles de la série. Pour n 4, on obtient
S n =
= 1 3
n∑
u k =
k=1
k=1
(
1 + 1 2 + 1 3
n∑
( )
1
3k − 1
2(k + 1) + 1
= 1 6(k + 3) 3
)
− 1 ( 1
2 2 3)
+ 1 − 1 2 · 1
n + 1 + 1 6
n∑
k=1
1
k − 1 n+1
∑
2
k=2
1
k + 1 n+3
∑
6
k=4
( 1
n + 1 + 1
n + 2 + 1
n + 3
1
k
)
,
car tous les termes 1 k
avec 4 k n apparaissent avec un coefficient nul. On en déduit que
lim S n = 7
n→+∞ 36 .
La série de terme général u n converge et sa somme vaut 7
36 .
2. On écrit, pour n 1,
u n = ln n + 1
n
− ln n + 3
n + 2 .