Corrigé des exercices - Dunod

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3. On a, pour tout réel x, f ′′ (x) β et donc, pour tout réel x,
f ∗′′ = 1
f ′′ ◦ g 1 β .
Comme f ∗′′ est minorée par une constante strictement positive, on peut appliquer ce qui
précède à f ∗ et définir (f ∗ ) ∗ . Comme f ∗′ = g et donc f ∗′ −1
= g −1 = f ′ , on a par définition
de f ∗ , pour tout réel x,
(f ∗ ) ∗ (x) = xf ′ (x) − f ∗ (f ′ (x)) = xf ′ (x) − [f ′ (x)g(f ′ (x)) − f(g(f ′ (x))]
= xf ′ (x) − [f ′ (x)x − f(x)] = f(x)
car g ◦ f ′ = Id R . On conclut que (f ∗ ) ∗ = f.
Exercice 20.19
1. La fonction g : x ↦−→ f(x) − x est strictement décroissante sur [a,b] car
g ′ (x) = f ′ (x) − 1 k − 1 < 0.
Comme on a g(a) 0 et g(b) 0, on en déduit que g s’annule une seule fois sur [a,b] en α.
L’équation f(x) = x a pour seule solution α.
2. L’inégalité des accroissements finies donne, pour tout entier n,
On en déduit que, pour tout entier n,
|u n+1 − α| = |f(u n ) − f(α)| k|u n − a|.
|u n − α| k n |u 0 − α|.
Comme k ∈ ]0,1[, on obtient que lim
n→+∞ u n = α.
Exercice 20.20
1. Comme f ′ est continue, la limite de f ′ en α est f ′ (α). Puisque k − |f ′ (α)| > 0, il existe
η > 0 tel que, pour tout x ∈ [α − η,α + η], l’inégalité |f ′ (x) − f ′ (α)| k − |f ′ (α)| soit
vérifiée. Pour un tel x, on a
|f ′ (x)| |f ′ (x) − f ′ (α)| + |f ′ (α)| k − |f ′ (α)| + |f ′ (α)| k.
Si n est un entier naturel tel que u n ∈ [α − η,α + η], alors par l’inégalité de accroissements
finis, on obtient
|u n+1 − α| k|u n − α| |u n − α| η
et u n appartient à [α − η,α + η]. Si u 0 appartient à cet intervalle, il en est donc de même
de tous les termes de la suite et on montre comme dans l’exercice précédent que (u n ) n∈N
converge vers α.